Что представляют собой иррациональные корни?

Алгебра 9 класс Иррациональные числа иррациональные корни алгебра математические корни свойства корней решения уравнений Новый

Иррациональные корни — это корни, которые не могут быть выражены в виде конечной или периодической десятичной дроби. Это означает, что они не могут быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Иррациональные числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление.

Примеры иррациональных корней:

• Корень квадратный из 2 (√2) — это число, которое не может быть точно выражено в виде дроби и его десятичное представление начинается как 1.41421356...
• Корень квадратный из 3 (√3) — аналогично, это число примерно равно 1.73205080..., и также является иррациональным.
• Число π (пи) — это число, которое также является иррациональным и приблизительно равно 3.14159...

Чтобы понять, почему некоторые корни являются иррациональными, рассмотрим следующие шаги:

1. Определение корня: Если мы ищем корень квадратный из числа, мы ищем такое число, которое, будучи возведенным в квадрат, дает это число.
2. Пример с √2: Предположим, что √2 можно выразить как дробь a/b, где a и b — целые числа и b не равно нулю. Если мы возведем обе стороны уравнения в квадрат, получим 2 = a²/b², что приводит к a² = 2b².
3. Анализ: Это означает, что a² является четным числом (так как оно равно 2b²). Следовательно, a также должно быть четным. Если a четное, то мы можем записать a как 2k (где k — целое число). Подставляя это обратно, получаем 2k² = b². Это показывает, что b² также четное, а значит b тоже четное.
4. Противоречие: Мы пришли к выводу, что и a, и b четные, что противоречит нашему предположению о том, что a/b — несократимая дробь. Это значит, что √2 не может быть выражен в виде дроби, следовательно, он иррационален.

Таким образом, иррациональные корни — это корни, которые не могут быть точно представлены в виде дробей, и их десятичные представления являются бесконечными и непериодическими.