Как доказать, что значение выражения √(5+2) - (√5 + √2) иррационально?

Алгебра 9 класс Иррациональные числа алгебра 9 класс иррациональное число доказательство значение выражения квадратный корень √(5+2) √5 √2 свойства иррациональных чисел математическое доказательство Новый

Давайте докажем, что значение выражения √(5+2) - (√5 + √2) является иррациональным числом. Начнем с того, что сначала упростим наше выражение:

Мы можем записать это как:

√(7) - (√5 + √2)

Теперь мы предположим, что это выражение является рациональным числом, то есть его можно представить в виде p/q, где p и q — натуральные числа.

1. Предположим, что √(7) - (√5 + √2) = r, где r — рациональное число. Т.е.:

√(7) = r + (√5 + √2)

2. Теперь возведем обе стороны в квадрат:

7 = (r + √5 + √2)²

3. Раскроем скобки:

7 = r² + 2r(√5 + √2) + (√5 + √2)²

4. Теперь нам нужно вычислить (√5 + √2)²:

(√5 + √2)² = 5 + 2 + 2√(5*2) = 7 + 2√10

5. Подставим это значение обратно в уравнение:

7 = r² + 2r(√5 + √2) + 7 + 2√10

6. Сокращая 7 с обеих сторон, получаем:

0 = r² + 2r(√5 + √2) + 2√10

Теперь мы видим, что у нас есть выражение, содержащее как рациональные, так и иррациональные компоненты.

Теперь попробуем выразить √10 через r:

2√10 = -r² - 2r(√5 + √2)

Это означает, что √10 также должно быть рациональным, если r является рациональным. Однако, мы знаем, что √10 является иррациональным числом. Это противоречие указывает на то, что наше начальное предположение о том, что √(7) - (√5 + √2) является рациональным, неверно.

Таким образом, мы пришли к выводу, что √(7) - (√5 + √2) является иррациональным числом.