Для того чтобы найти точки максимума и минимума функции F(x) = x^3 - 3x^2 + 4, а также промежутки возрастания и убывания, нам нужно выполнить несколько шагов.

Производная функции F(x) будет равна:

• F'(x) = 3x^2 - 6x.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена. Найдем, где F'(x) = 0:

• 3x^2 - 6x = 0.
• Выносим общий множитель: 3x(x - 2) = 0.
• Таким образом, x = 0 и x = 2.

Для этого воспользуемся вторым производным тестом. Сначала найдем вторую производную:

• F''(x) = 6x - 6.

Теперь подставим критические точки:

• F''(0) = 6(0) - 6 = -6 (отрицательное значение, значит, x = 0 - точка максимума).
• F''(2) = 6(2) - 6 = 6 (положительное значение, значит, x = 2 - точка минимума).

Для этого исследуем знак первой производной F'(x):

• F'(x) = 3x(x - 2).

Теперь определим знаки на интервалах:

• На интервале (-∞, 0): F'(x) > 0 (функция возрастает).
• На интервале (0, 2): F'(x) < 0 (функция убывает).
• На интервале (2, +∞): F'(x) > 0 (функция возрастает).

Теперь нам нужно вычислить значения функции в критических точках и на границах интервала:

• F(0) = 0^3 - 3(0^2) + 4 = 4.
• F(2) = 2^3 - 3(2^2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0.
• F(4) = 4^3 - 3(4^2) + 4 = 64 - 48 + 4 = 20.

Сравнив значения:

• F(0) = 4 (максимум на интервале).
• F(2) = 0 (минимум на интервале).
• F(4) = 20 (максимум на интервале).

• Точка максимума: x = 0.
• Точка минимума: x = 2.
• Промежутки возрастания: (-∞, 0) и (2, +∞); промежуток убывания: (0, 2).
• Наибольшее значение на [0; 4]: 20 (в точке x = 4); наименьшее значение: 0 (в точке x = 2).