Для каких значений параметра a уравнение a * x^2 + 3 * x + 2 * a^2 - 3 = 0 имеет только целые корни?

Алгебра 9 класс Уравнения с параметрами значения параметра a уравнение целые корни алгебра 9 класс квадратное уравнение Новый

Чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение a * x^2 + 3 * x + 2 * a^2 - 3 = 0 имеет только целые корни, мы можем воспользоваться следующим подходом:

1. Сначала заметим, что уравнение является квадратным, и его корни можно найти с помощью формулы корней квадратного уравнения.
2. Формула корней выглядит так: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), где a, b и c - коэффициенты уравнения.
3. В нашем уравнении:
• a = a
• b = 3
• c = 2 * a² - 3
4. Теперь подставим эти значения в формулу дискриминанта:
D = b² - 4ac
5. Подставляем наши значения:
D = 3² - 4 * a * (2 * a² - 3)
6. Упростим дискриминант:
• D = 9 - 8a³ + 12a
7. Для того чтобы уравнение имело целые корни, дискриминант D должен быть не только неотрицательным, но и должен быть полным квадратом. То есть, D ≥ 0 и D = k² для некоторого целого k.
8. Решим неравенство D ≥ 0:
9 - 8a³ + 12a ≥ 0
9. Теперь можно найти корни этого неравенства. Для этого можно рассмотреть функцию f(a) = -8a³ + 12a + 9 и найти её критические точки.
10. Решим уравнение f(a) = 0:
• Это кубическое уравнение, и его можно решить с помощью различных методов, например, методом подбора, или использовать графический метод для нахождения корней.
11. После нахождения корней, мы можем определить интервалы, в которых функция f(a) положительна или отрицательна.
12. Теперь, чтобы D был полным квадратом, мы можем подставить найденные значения a обратно в выражение для D и проверить, при каких значениях D является полным квадратом.
13. Таким образом, мы можем найти все целые значения a, при которых уравнение имеет только целые корни.

В заключение, процесс требует нахождения корней кубического уравнения и анализа выражения для D на целые значения. Это может быть достаточно трудоемким, но с помощью графиков или численных методов можно упростить задачу.