Как можно доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 19?

Алгебра 9 класс Иррациональные числа доказать рациональное число квадрат 19 алгебра 9 класс числовые свойства иррациональные числа Новый

Чтобы доказать, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 19, мы воспользуемся методом доказательства от противного. Начнем с предположения, что такое рациональное число существует.

1. Предположение: Пусть x - рациональное число, такое что x^2 = 19.
2. Запись в виде дроби: Поскольку x - рациональное число, его можно записать в виде дроби: x = a/b, где a и b - целые числа, b ≠ 0, и дробь a/b несократима (то есть a и b не имеют общих делителей, кроме 1).
3. Подставим в уравнение: Подставим x в уравнение x^2 = 19:
   • (a/b)^2 = 19
   • => a^2/b^2 = 19
   • => a^2 = 19b^2
4. Анализ уравнения: Из уравнения a^2 = 19b^2 следует, что a^2 делится на 19. Это значит, что a должно быть делится на 19, так как 19 - простое число (если квадрат числа делится на простое число, то и само число делится на это простое).
5. Запишем a: Пусть a = 19k для некоторого целого числа k. Подставим это значение в уравнение:
   • (19k)^2 = 19b^2
   • => 361k^2 = 19b^2
   • => b^2 = 19 * 19k^2 / 19 = 19 * k^2
   • => b^2 = 19m^2 для некоторого целого числа m.
6. Вывод: Мы получили, что b^2 также делится на 19, что означает, что и b делится на 19.
7. Противоречие: Таким образом, мы пришли к выводу, что и a, и b делятся на 19. Это противоречит нашему предположению о том, что дробь a/b несократима.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что существует рациональное число, квадрат которого равен 19, неверно. Таким образом, мы доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 19.