Как можно доказать, что выражение n в кубе плюс 65n делится на 6?

Алгебра 9 класс Делимость чисел доказать выражение n в кубе 65n делится на 6 алгебра 9 класс Новый

Чтобы доказать, что выражение n в кубе плюс 65n делится на 6, мы можем воспользоваться свойствами делимости и рассмотреть это выражение по модулю 2 и по модулю 3. Это связано с тем, что 6 = 2 * 3, и если выражение делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.

Шаг 1: Проверка делимости по модулю 2

• Рассмотрим выражение n³ + 65n по модулю 2.
• Для этого нам нужно рассмотреть два случая: n четное и n нечетное.
• Если n четное (например, n = 2k), то n³ также четное, и 65n (так как 65 - нечетное число) будет нечетным. Таким образом, четное + нечетное = нечетное.
• Если n нечетное (например, n = 2k + 1), то n³ будет нечетным, и 65n будет нечетным. Таким образом, нечетное + нечетное = четное.

Следовательно, в обоих случаях выражение n³ + 65n будет четным, а значит, делится на 2.

Шаг 2: Проверка делимости по модулю 3

• Теперь рассмотрим выражение n³ + 65n по модулю 3.
• 65 по модулю 3 равно 2, так как 65 = 3 * 21 + 2. Таким образом, мы можем переписать выражение как n³ + 2n.
• Теперь рассмотрим возможные остатки n по модулю 3: 0, 1 и 2.
• Если n ≡ 0 (mod 3), то n³ + 2n ≡ 0 + 0 ≡ 0 (mod 3).
• Если n ≡ 1 (mod 3), то n³ + 2n ≡ 1 + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3).
• Если n ≡ 2 (mod 3), то n³ + 2n ≡ 8 + 4 ≡ 12 ≡ 0 (mod 3).

Таким образом, в каждом случае выражение n³ + 65n делится на 3.

Заключение

Мы доказали, что выражение n³ + 65n делится на 2 и на 3. Следовательно, оно делится и на 6.