Для исследования функции f(x) = x / (x^2 - 2) на непрерывность и построения её графика, следуйте следующим шагам:

Сначала найдем, где функция определена. Функция будет неопределена, если знаменатель равен нулю. Поэтому решаем уравнение:

• x^2 - 2 = 0

Решая это уравнение, получаем:

• x^2 = 2
• x = ±√2

Таким образом, функция f(x) определена для всех x, кроме x = √2 и x = -√2. Область определения функции будет:

• (-∞, -√2) ∪ (-√2, √2) ∪ (√2, +∞)

Функция будет непрерывна на своих интервалах определения. Однако в точках x = √2 и x = -√2 функция имеет разрывы. Чтобы более подробно исследовать поведение функции в этих точках, можно найти пределы функции при подходе к этим значениям:

• lim (x → √2) f(x) = lim (x → √2) x / (x^2 - 2)
• lim (x → -√2) f(x) = lim (x → -√2) x / (x^2 - 2)

Оба предела будут стремиться к бесконечности (положительной или отрицательной) в зависимости от направления подхода. Это подтверждает наличие разрывов в этих точках.

Теперь исследуем знаки функции на интервалах определения:

• На интервале (-∞, -√2): f(x) < 0
• На интервале (-√2, √2): f(x) > 0
• На интервале (√2, +∞): f(x) > 0

Для построения графика функции необходимо учитывать:

• Разрывы в точках x = √2 и x = -√2.
• Знаки функции на интервалах.
• Пределы функции при x стремящемся к разрывам.

График будет представлять собой две ветви, подходящие к вертикальным асимптотам в точках x = √2 и x = -√2, а также проходящие через ось x в точке (0,0).

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) на непрерывность и построили её график, учитывая все ключевые моменты. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!