Как можно разложить на множители выражение (x² + x + 4)² + 8x(x² + x + 4) + 15x²?

Алгебра 9 класс Разложение многочленов на множители разложение на множители алгебра 9 класс квадратное выражение методы разложения примеры задач по алгебре Новый

Чтобы разложить на множители выражение (x² + x + 4)² + 8x(x² + x + 4) + 15x², давайте сначала упростим его. Обозначим:

y = x² + x + 4

Теперь мы можем переписать исходное выражение через y:

(y)² + 8x(y) + 15x²

Теперь у нас есть квадратное уравнение по переменной y. Мы можем рассмотреть это выражение как:

y² + 8xy + 15x²

Теперь мы можем попытаться разложить его на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения:

1. Найдем дискриминант D:

D = (8x)² - 4 * 1 * 15x² = 64x² - 60x² = 4x²

2. Теперь найдем корни с помощью формулы:

y1,2 = (-b ± √D) / 2a = (-8x ± √(4x²)) / 2 = (-8x ± 2x) / 2

Это дает нам два корня:

• y1 = (-8x + 2x) / 2 = -6x / 2 = -3x
• y2 = (-8x - 2x) / 2 = -10x / 2 = -5x

Теперь мы можем записать выражение в виде:

(y + 3x)(y + 5x)

Теперь подставим обратно значение y:

(x² + x + 4 + 3x)(x² + x + 4 + 5x) = (x² + 4x + 4)(x² + 6x + 4)

Теперь упростим каждое из множителей:

1. Первый множитель:

x² + 4x + 4 = (x + 2)²

2. Второй множитель:

x² + 6x + 4

Теперь мы можем оставить второй множитель в исходном виде, так как он не раскладывается на более простые множители с целыми коэффициентами.

Таким образом, окончательно мы можем записать:

(x + 2)² (x² + 6x + 4)

Это и есть разложение данного выражения на множители.