Как можно решить систему неравенств: (первая строка) 2x^2 + 5x - 7 > 0, (вторая строка) (числитель) 3x - 4, (знаменатель) 2x + 6, <= 0? Спасибо!

Алгебра 9 класс Системы неравенств система неравенств решение неравенств алгебра 9 класс неравенства с дробями 2x^2 + 5x - 7 > 0 3x - 4 <= 0 2x + 6 > 0 Новый

Чтобы решить систему неравенств, давайте разберем каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

2x^2 + 5x - 7 > 0

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения:

2x^2 + 5x - 7 = 0

Используем дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 2 * (-7) = 25 + 56 = 81

Теперь находим корни:

• x1 = (-b - √D) / (2a) = (-5 - 9) / 4 = -14 / 4 = -3.5
• x2 = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 9) / 4 = 4 / 4 = 1

Теперь у нас есть корни x1 = -3.5 и x2 = 1. Эти корни делят числовую ось на три промежутка:

• (-∞, -3.5)
• (-3.5, 1)
• (1, +∞)

Теперь проверим знак неравенства в каждом из этих промежутков:

• Для x < -3.5, например, x = -4: 2(-4)^2 + 5(-4) - 7 = 32 - 20 - 7 = 5 (положительное)
• Для -3.5 < x < 1, например, x = 0: 2(0)^2 + 5(0) - 7 = -7 (отрицательное)
• Для x > 1, например, x = 2: 2(2)^2 + 5(2) - 7 = 8 + 10 - 7 = 11 (положительное)

Таким образом, неравенство 2x^2 + 5x - 7 > 0 выполняется на промежутках:

• x < -3.5
• x > 1

Второе неравенство:

Теперь рассмотрим второе неравенство:

(3x - 4) / (2x + 6) > 0

Чтобы это неравенство выполнялось, нужно, чтобы числитель и знаменатель имели одинаковые знаки.

1. Находим корни числителя:

3x - 4 = 0

• x = 4/3

2. Находим корни знаменателя:

2x + 6 = 0

• x = -3

Теперь у нас есть два критических значения: x = -3 и x = 4/3. Эти значения также делят числовую ось на три промежутка:

• (-∞, -3)
• (-3, 4/3)
• (4/3, +∞)

Теперь проверим знак дроби в каждом из этих промежутков:

• Для x < -3, например, x = -4: (3(-4) - 4) / (2(-4) + 6) = (-12 - 4) / (-8 + 6) = -16 / -2 = 8 (положительное)
• Для -3 < x < 4/3, например, x = 0: (3(0) - 4) / (2(0) + 6) = -4 / 6 = -2/3 (отрицательное)
• Для x > 4/3, например, x = 2: (3(2) - 4) / (2(2) + 6) = (6 - 4) / (4 + 6) = 2 / 10 = 1/5 (положительное)

Таким образом, неравенство (3x - 4) / (2x + 6) > 0 выполняется на промежутках:

• x < -3
• x > 4/3

Объединяем результаты:

Теперь у нас есть два результата:

• Первое неравенство: x < -3 или x > 1
• Второе неравенство: x < -3 или x > 4/3

Объединяя эти результаты, получаем, что система неравенств выполняется на следующих промежутках:

• x < -3
• x > 4/3
(так как 1 < 4/3, этот промежуток не учитывается для первого неравенства).

Таким образом, решение системы неравенств:

x < -3 или x > 4/3