Как можно решить уравнение 1/(X+2) - 1/(2x-x²) = 8/(x³-4x)?

Алгебра 9 класс Рациональные уравнения решение уравнения алгебра 9 класс уравнение с дробями математические задачи Дробно-рациональные уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 1/(x+2) - 1/(2x-x²) = 8/(x³-4x), начнем с упрощения и приведения всех дробей к общему знаменателю. Для этого сначала разберем каждый из знаменателей.

1. Знаменатель 2x - x² можно переписать как -x(x - 2), а знаменатель x³ - 4x можно разложить на множители: x(x² - 4) = x(x - 2)(x + 2).

Теперь перепишем уравнение с учетом этих преобразований:

1/(x + 2) - 1/(-x(x - 2)) = 8/(x(x - 2)(x + 2))

2. Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей. Общим знаменателем будет -x(x - 2)(x + 2).

3. Умножим каждую дробь на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

• -x(x - 2)(x + 2) * 1/(x + 2) = -x(x - 2)
• -x(x - 2)(x + 2) * (-1/(-x(x - 2))) = (x + 2)
• -x(x - 2)(x + 2) * 8/(x(x - 2)(x + 2)) = -8

4. После умножения уравнение примет следующий вид:

-x(x - 2) + (x + 2) = -8

5. Упростим это уравнение:

-x² + 2x + x + 2 = -8

6. Переносим все в одну сторону:

-x² + 3x + 2 + 8 = 0

-x² + 3x + 10 = 0

7. Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

x² - 3x - 10 = 0

8. Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.

9. Так как дискриминант положителен, у уравнения два различных корня:

x1 = (3 + √49)/2 = (3 + 7)/2 = 5

x2 = (3 - √49)/2 = (3 - 7)/2 = -2

10. Проверим найденные корни на допустимость. Знаменатели в исходном уравнении не должны равняться нулю:

• Для x = 5: все знаменатели положительны, значит, корень допустим.
• Для x = -2: знаменатель 1/(x + 2) становится нулем, значит, этот корень недопустим.

Таким образом, единственный корень уравнения - x = 5.