Как можно решить уравнение: √(2x² + 4x - 23) - √(x² + 2x - 8) = 1?

Алгебра 9 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 9 класс квадратные корни уравнения с корнями алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения √(2x² + 4x - 23) - √(x² + 2x - 8) = 1, давайте следовать шагам, чтобы упростить и решить его.

Шаг 1: Переносим один из корней на другую сторону уравнения.

Мы можем перенести √(x² + 2x - 8) на правую сторону:

√(2x² + 4x - 23) = √(x² + 2x - 8) + 1

Шаг 2: Возводим обе стороны уравнения в квадрат.

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(√(2x² + 4x - 23))² = (√(x² + 2x - 8) + 1)²

Это даст нам:

2x² + 4x - 23 = (x² + 2x - 8) + 2√(x² + 2x - 8) + 1

Шаг 3: Упрощаем уравнение.

Сначала упростим правую часть:

2x² + 4x - 23 = x² + 2x - 7 + 2√(x² + 2x - 8)

Теперь перенесем все, что не содержит корней, на одну сторону:

2x² + 4x - 23 - x² - 2x + 7 = 2√(x² + 2x - 8)

Упрощаем:

x² + 2x - 16 = 2√(x² + 2x - 8)

Шаг 4: Возводим обе стороны в квадрат еще раз.

Теперь снова возведем обе стороны в квадрат:

(x² + 2x - 16)² = (2√(x² + 2x - 8))²

Это даст:

(x² + 2x - 16)² = 4(x² + 2x - 8)

Шаг 5: Раскрываем скобки и приводим подобные.

Раскроем левую часть:

(x² + 2x - 16)(x² + 2x - 16) = x^4 + 4x³ + 4x² - 32x² - 64x + 256

И упрощаем:

x^4 + 4x³ - 28x² - 64x + 256 = 4x² + 8x - 32

Теперь переносим все на одну сторону:

x^4 + 4x³ - 32x² - 72x + 288 = 0

Шаг 6: Решаем полученное уравнение.

Это уравнение является полиномом 4 степени. Мы можем попробовать найти его корни с помощью методов, таких как деление или использование теоремы Виета. Но проще всего будет воспользоваться числовыми методами или графическим методом для нахождения корней.

Шаг 7: Проверяем корни.

После нахождения корней необходимо подставить их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они не приводят к возникновению отрицательных значений под корнями.

Таким образом, процесс решения этого уравнения включает в себя несколько шагов, и важно проверять найденные корни, чтобы избежать ложных решений.