Чтобы решить уравнение 2x³ + x² - 8x - 4 = 0, мы можем воспользоваться методом подбора корней и делением многочленов. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Подбор рациональных корней: Сначала мы попробуем найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. Она гласит, что возможные рациональные корни можно получить, взяв делители свободного члена и делители ведущего коэффициента.
• Свободный член: -4 (делители: ±1, ±2, ±4)
• Ведущий коэффициент: 2 (делители: ±1, ±2)
2. Перечислим возможные корни: Из делителей мы можем получить следующие возможные корни: ±1, ±2, ±4, ±1/2.
3. Проверка возможных корней: Теперь будем подставлять эти значения в уравнение.
• Подставим x = 1:

  2(1)³ + (1)² - 8(1) - 4 = 2 + 1 - 8 - 4 = -9 (не корень)

• Подставим x = -1:

  2(-1)³ + (-1)² - 8(-1) - 4 = -2 + 1 + 8 - 4 = 3 (не корень)

• Подставим x = 2:

  2(2)³ + (2)² - 8(2) - 4 = 16 + 4 - 16 - 4 = 0 (корень)

4. Деление многочлена: Теперь, когда мы нашли корень x = 2, мы можем выполнить деление многочлена 2x³ + x² - 8x - 4 на (x - 2).

Для деления используем схему Горнера:

• Коэффициенты многочлена: 2, 1, -8, -4
• Подставляем 2:
• • 2 | 2 1 -8 -4
  • | 4 10 4
  • ------------------
  • | 2 5 2 0

Результат деления: 2x² + 5x + 2.

5. Решение квадратного уравнения: Теперь мы решаем квадратное уравнение 2x² + 5x + 2 = 0 с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac = 5² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.
• Корни уравнения:

  x1 = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 3) / 4 = -0.5,

  x2 = (-b - √D) / (2a) = (-5 - 3) / 4 = -2.

6. Итоговые корни: Таким образом, у нас есть три корня уравнения:
• x1 = 2,
• x2 = -0.5,
• x3 = -2.

Ответ: корни уравнения 2x³ + x² - 8x - 4 = 0: x = 2, x = -0.5, x = -2.