Для решения уравнения x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0 мы можем использовать различные методы, такие как факторизация, метод подбора корней или численные методы. В данном случае мы попробуем найти корни уравнения с помощью подбора.

Первый шаг - это проверить, есть ли у уравнения рациональные корни. Мы можем использовать теорему о рациональных корнях, которая гласит, что возможные рациональные корни уравнения имеют вид ±p/q, где p - делители свободного члена (в нашем случае 15), а q - делители старшего коэффициента (в нашем случае 1).

Делители числа 15: ±1, ±3, ±5, ±15. Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±3, ±5, ±15.

Теперь мы будем подставлять эти значения в уравнение, чтобы проверить, являются ли они корнями:

• Подставим x = 1:
• 1^3 + 3*1^2 + 5*1 + 15 = 1 + 3 + 5 + 15 = 24 (не корень)
• Подставим x = -1:
• (-1)^3 + 3*(-1)^2 + 5*(-1) + 15 = -1 + 3 - 5 + 15 = 12 (не корень)
• Подставим x = 3:
• 3^3 + 3*3^2 + 5*3 + 15 = 27 + 27 + 15 + 15 = 84 (не корень)
• Подставим x = -3:
• (-3)^3 + 3*(-3)^2 + 5*(-3) + 15 = -27 + 27 - 15 + 15 = 0 (корень)

Мы нашли один корень: x = -3. Теперь мы можем использовать этот корень для деления многочлена на (x + 3) с помощью деления многочленов.

Делим многочлен x^3 + 3x^2 + 5x + 15 на (x + 3):

1. Первый член: x^3 делим на x, получаем x^2.
2. Умножаем: (x + 3) * x^2 = x^3 + 3x^2.
3. Вычитаем: (x^3 + 3x^2 + 5x + 15) - (x^3 + 3x^2) = 5x + 15.
4. Теперь делим 5x на x, получаем 5.
5. Умножаем: (x + 3) * 5 = 5x + 15.
6. Вычитаем: (5x + 15) - (5x + 15) = 0.

Таким образом, мы получили результат деления:

x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = (x + 3)(x^2 + 5).

Теперь у нас есть квадратное уравнение x^2 + 5 = 0. Чтобы найти его корни, мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:

Корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 находятся по формуле:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

В нашем случае a = 1, b = 0, c = 5. Подставляем значения:

• b^2 - 4ac = 0^2 - 4*1*5 = -20.

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней, но есть комплексные:

x = (0 ± √(-20)) / (2*1) = ± √20 / 2 * i = ±√(4*5) / 2 * i = ± 2√5 / 2 * i = ±√5 * i.

Таким образом, у уравнения x^3 + 3x^2 + 5x + 15 = 0 есть один действительный корень:

• x = -3

И два комплексных корня:

• x = √5 * i
• x = -√5 * i