Для решения уравнения x³ - 7x + 6 = 0 мы можем использовать несколько методов, включая метод подбора корней и деление многочлена. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут нам найти корни этого уравнения.

1. Подбор целых корней: Мы можем попробовать подобрать целые числа, которые могут быть корнями уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях, которая говорит, что если p/q — корень уравнения, то p — делитель свободного члена (в нашем случае 6), а q — делитель старшего коэффициента (в нашем случае 1).
2. Делители числа 6: Делителями числа 6 являются: ±1, ±2, ±3, ±6. Мы будем подставлять эти значения в уравнение и проверять, равно ли оно нулю.
3. Проверяем корни:
   • Подставим x = 1:
     1³ - 7*1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0.
     Таким образом, x = 1 является корнем.
   • Подставим x = -1:
     (-1)³ - 7*(-1) + 6 = -1 + 7 + 6 = 12.
     Это не корень.
   • Подставим x = 2:
     2³ - 7*2 + 6 = 8 - 14 + 6 = 0.
     Таким образом, x = 2 является корнем.
   • Подставим x = -2:
     (-2)³ - 7*(-2) + 6 = -8 + 14 + 6 = 12.
     Это не корень.
   • Подставим x = 3:
     3³ - 7*3 + 6 = 27 - 21 + 6 = 12.
     Это не корень.
   • Подставим x = -3:
     (-3)³ - 7*(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0.
     Таким образом, x = -3 является корнем.
   • Подставим x = 6:
     6³ - 7*6 + 6 = 216 - 42 + 6 = 180.
     Это не корень.
   • Подставим x = -6:
     (-6)³ - 7*(-6) + 6 = -216 + 42 + 6 = -168.
     Это не корень.
4. Итак, мы нашли три корня: x = 1, x = 2, x = -3.
5. Разложение многочлена: Теперь мы можем разложить многочлен на множители, используя найденные корни. Уравнение можно записать в виде:
• (x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0.
6. Проверка: Мы можем проверить, что произведение действительно равно исходному многочлену:
• (x - 1)(x - 2) = x² - 3x + 2.
• (x² - 3x + 2)(x + 3) = x³ + 3x² - 3x² - 9x + 2x + 6 = x³ - 7x + 6.
7. Ответ: Таким образом, уравнение x³ - 7x + 6 = 0 имеет три корня: x = 1, x = 2, x = -3.