Как можно упростить следующее выражение: (sina+cosa)^2 - sin2a / cos2a + 2sin^2a?

Алгебра 9 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 9 класс тригонометрические функции формулы синуса и косинуса математические выражения Новый

Для упрощения данного выражения, давайте разберем его по частям и применим известные тригонометрические тождества.

Исходное выражение:

(sina + cosa)^2 - sin2a / cos2a + 2sin^2a

1. Начнем с упрощения первой части: (sina + cosa)^2.

• По формуле квадрата суммы, мы имеем:
• (sina + cosa)^2 = sina^2 + 2sina*cosa + cosa^2.
• Согласно основному тригонометрическому тождеству, sina^2 + cosa^2 = 1, поэтому:
• (sina + cosa)^2 = 1 + 2sina*cosa.

2. Теперь подставим это в выражение:

(1 + 2sina*cosa) - sin2a / cos2a + 2sin^2a.

3. Заменим sin2a на 2sina*cosa (по формуле двойного угла):

(1 + 2sina*cosa) - (2sina*cosa) / cos2a + 2sin^2a.

4. Теперь упростим дробь (2sina*cosa) / cos2a:

Используем формулу cos2a = cosa^2 - sina^2, чтобы упростить выражение.

5. Подставим это обратно в выражение:

(1 + 2sina*cosa) - (2sina*cosa) / (cosa^2 - sina^2) + 2sin^2a.

6. Теперь упрощаем это выражение, но чтобы не запутаться, давайте сначала упростим (1 + 2sina*cosa) и 2sin^2a вместе:

1 + 2sina*cosa + 2sin^2a - (2sina*cosa) / (cosa^2 - sina^2).

7. Далее, мы можем объединить 2sina*cosa и 2sin^2a:

1 + 2sina*cosa + 2sin^2a = 1 + 2sina(cosa + sin a).

8. Теперь окончательно подытожим:

Наше упрощенное выражение будет выглядеть так:

1 + 2sina(cosa + sin a) - (2sina*cosa) / (cosa^2 - sina^2).

Таким образом, после всех упрощений мы пришли к более компактной форме исходного выражения.