Как найти решение уравнения 2sin^2 х + sin х cos х - 3cos^2 х = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические уравнения синус и косинус математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 2sin^2 х + sin х cos х - 3cos^2 х = 0, давайте следовать пошаговому процессу.

Шаг 1: Замена переменных

Для упрощения уравнения можно ввести замену переменных. Обозначим:

• sin х = y
• cos х = √(1 - y^2) (по теореме Пифагора)

Теперь у нас есть:

cos^2 х = 1 - sin^2 х = 1 - y^2

Подставим эти значения в уравнение:

Шаг 2: Подстановка

Уравнение становится:

2y^2 + y√(1 - y^2) - 3(1 - y^2) = 0

Упростим его:

2y^2 + y√(1 - y^2) - 3 + 3y^2 = 0

Соберем подобные члены:

5y^2 + y√(1 - y^2) - 3 = 0

Шаг 3: Умножение на √(1 - y^2)

Чтобы избавиться от корня, умножим всё уравнение на √(1 - y^2):

(5y^2 + y√(1 - y^2) - 3)√(1 - y^2) = 0

Это даст нам два уравнения:

• 5y^2 - 3 = 0
• y = 0

Шаг 4: Решение первого уравнения

Решим уравнение 5y^2 - 3 = 0:

• 5y^2 = 3
• y^2 = 3/5
• y = ±√(3/5)

Шаг 5: Решение второго уравнения

Решим уравнение y = 0:

• y = 0

Шаг 6: Обратная замена

Теперь вернемся к переменной sin х:

• sin х = √(3/5) или sin х = -√(3/5)
• sin х = 0

Шаг 7: Нахождение углов

Теперь найдем значения х для каждого случая:

• Для sin х = √(3/5):
• х = arcsin(√(3/5)) + 2πk
• х = π - arcsin(√(3/5)) + 2πk
• Для sin х = -√(3/5):
• х = -arcsin(√(3/5)) + 2πk
• х = -π + arcsin(√(3/5)) + 2πk
• Для sin х = 0:
• х = πk, где k - целое число.

Шаг 8: Итог

Таким образом, общее решение уравнения 2sin^2 х + sin х cos х - 3cos^2 х = 0 можно записать как:

• х = arcsin(√(3/5)) + 2πk
• х = π - arcsin(√(3/5)) + 2πk
• х = -arcsin(√(3/5)) + 2πk
• х = -π + arcsin(√(3/5)) + 2πk
• х = πk

где k - любое целое число.