Можете, пожалуйста, подробно решить следующее задание? 1) Найдите решение уравнения 4sin^3x + 1 = 4sin^2x + sinx. б) Определите все корни этого уравнения, которые находятся на отрезке [пи, 2пи].

Алгебра 9 класс Уравнения с тригонометрическими функциями алгебра 9 класс решение уравнения корни уравнения тригонометрические функции отрезок [пи 2пи]

Давайте решим уравнение 4sin^3x + 1 = 4sin^2x + sinx шаг за шагом.

Шаг 1: Приведем уравнение к стандартному виду.

Для этого перенесем все члены на одну сторону уравнения:

• 4sin^3x - 4sin^2x - sinx + 1 = 0.

Шаг 2: Обозначим sinx как t.

Пусть t = sinx. Тогда уравнение примет вид:

• 4t^3 - 4t^2 - t + 1 = 0.

Шаг 3: Попробуем найти корни уравнения.

Для этого воспользуемся методом подбора. Проверим, например, t = 1:

• 4(1)^3 - 4(1)^2 - (1) + 1 = 4 - 4 - 1 + 1 = 0.

Таким образом, t = 1 является корнем уравнения.

Шаг 4: Разделим полином на (t - 1).

Теперь мы можем разделить 4t^3 - 4t^2 - t + 1 на (t - 1) с помощью деления многочленов:

• 4t^3 - 4t^2 - t + 1 = (t - 1)(4t^2 - 1).

Шаг 5: Найдем корни второго множителя.

Теперь решим уравнение 4t^2 - 1 = 0:

• 4t^2 = 1
• t^2 = 1/4
• t = ±1/2.

Таким образом, у нас есть три корня:

• t = 1,
• t = 1/2,
• t = -1/2.

Шаг 6: Найдем соответствующие значения x.

Теперь вернемся к переменной x, помня, что t = sinx.

• Для sinx = 1: x = π/2 + 2kπ, где k - целое число.
• Для sinx = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.
• Для sinx = -1/2: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Шаг 7: Определим корни на отрезке [π, 2π].

Теперь найдем корни, которые лежат на отрезке [π, 2π]:

• Для sinx = 1: x = π/2 + 2kπ (не попадает в отрезок).
• Для sinx = 1/2: x = π/6 + 2kπ (не попадает в отрезок) и x = 5π/6 + 2kπ (попадает в отрезок).
• Для sinx = -1/2: x = 7π/6 + 2kπ (попадает в отрезок) и x = 11π/6 + 2kπ (попадает в отрезок).

Ответ: Корни уравнения на отрезке [π, 2π]: x = 5π/6, x = 7π/6, x = 11π/6.

Решение уравнения:

Дано уравнение:

4sin^3x + 1 = 4sin^2x + sinx.

Переносим все члены в одну сторону:

4sin^3x - 4sin^2x - sinx + 1 = 0.

Обозначим sinx = y:

4y^3 - 4y^2 - y + 1 = 0.

Теперь решим это кубическое уравнение. Попробуем найти корни методом подбора. Проверим y = 1:

4(1)^3 - 4(1)^2 - (1) + 1 = 4 - 4 - 1 + 1 = 0.

y = 1 является корнем.

Теперь разделим 4y^3 - 4y^2 - y + 1 на (y - 1) с помощью деления многочленов:

• 4y^3 - 4y^2 - y + 1 = (y - 1)(4y^2 - 1).

Теперь решим 4y^2 - 1 = 0:

• 4y^2 = 1
• y^2 = 1/4
• y = ±1/2.

Итак, у нас есть три корня:

• y = 1
• y = 1/2
• y = -1/2.

Теперь вернемся к sinx:

• sinx = 1
• sinx = 1/2
• sinx = -1/2.

Определим корни на отрезке [π, 2π]:

• sinx = 1: x = (3π)/2 (не входит в отрезок).
• sinx = 1/2: x = (7π)/6, (11π)/6.
• sinx = -1/2: x = (7π)/6, (11π)/6 (уже учтены).

Ответ:

• Корни на отрезке [π, 2π]: x = (7π)/6, (11π)/6.