Чтобы решить уравнение 4/(x²+6x+9) + 6/(9-x²) = 1/(x-3), давайте сначала упростим его. Начнем с анализа каждого из дробных выражений.

Первое, что мы замечаем, это то, что x² + 6x + 9 можно переписать как (x + 3)², а 9 - x² можно записать как (3 - x)(3 + x). Таким образом, уравнение можно переписать так:

• 4/(x + 3)² + 6/((3 - x)(3 + x)) = 1/(x - 3)

Теперь найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Общий знаменатель будет равен (x + 3)²(3 - x)(3 + x).

Перепишем каждую дробь с этим общим знаменателем:

• Первая дробь: 4/(x + 3)² умножаем на (3 - x)(3 + x), получаем 4(3 - x)(3 + x)/(x + 3)²(3 - x)(3 + x).
• Вторая дробь: 6/((3 - x)(3 + x)) умножаем на (x + 3)², получаем 6(x + 3)²/(x + 3)²(3 - x)(3 + x).
• Правая дробь: 1/(x - 3) умножаем на (x + 3)²(3 - x)(3 + x), получаем (x + 3)²(3 - x)(3 + x)/(x - 3)(x + 3)²(3 - x)(3 + x).

Теперь у нас есть:

• 4(3 - x)(3 + x) + 6(x + 3)² = (x + 3)²(3 - x)(3 + x)

Теперь упростим каждую часть уравнения. Начнем с левой части:

• Раскроем скобки в 4(3 - x)(3 + x): это будет 4(9 - x²) = 36 - 4x².
• Раскроем скобки в 6(x + 3)²: это будет 6(x² + 6x + 9) = 6x² + 36x + 54.

Теперь объединим все это:

• Слева: 36 - 4x² + 6x² + 36x + 54 = 2x² + 36x + 90.

Теперь у нас есть:

• 2x² + 36x + 90 = (x + 3)²(3 - x)(3 + x).

Теперь упростим правую часть, раскрыв скобки. После этого мы можем привести все к одной стороне уравнения и решить его, используя методы решения квадратных уравнений.

После упрощения и приведения всех членов к одной стороне уравнения, мы можем использовать дискриминант для нахождения корней уравнения.

Не забудьте проверить найденные корни на наличие возможных исключений, так как при подстановке корней в исходное уравнение могут возникнуть деления на ноль.

Таким образом, следуя этим шагам, вы сможете найти решение данного уравнения.