Как найти решение уравнения cos²4x + 3cos²2x - 1 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения алгебра 9 класс cos²4x cos²2x математические уравнения тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения cos²4x + 3cos²2x - 1 = 0, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Сделаем замену переменной: Обозначим cos²2x как y. Таким образом, у нас получится:
• cos²4x = (cos²2x)² = y².
• Тогда уравнение можно переписать как:
• y² + 3y - 1 = 0.
2. Решим квадратное уравнение: Используем формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a.
• В нашем случае a = 1, b = 3, c = -1. Подставляем значения:
• y = (-3 ± √(3² - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1) = (-3 ± √(9 + 4)) / 2 = (-3 ± √13) / 2.
3. Получаем два значения для y:
• y1 = (-3 + √13) / 2,
• y2 = (-3 - √13) / 2.
4. Теперь найдем cos²2x: Поскольку y = cos²2x, проверим, какие из найденных значений подходят.
• y1 = (-3 + √13) / 2. Это значение положительное, так как √13 примерно 3.6, и тогда (-3 + 3.6) / 2 > 0.
• y2 = (-3 - √13) / 2. Это значение отрицательное, что не может быть, так как cos²2x всегда неотрицательно.
5. Следовательно, принимаем только y1:
• cos²2x = (-3 + √13) / 2.
6. Теперь найдем cos2x: Извлекаем корень:
• cos2x = ±√((-3 + √13) / 2).
7. Теперь решим для x: Используем обратные функции:
• 2x = arccos(√((-3 + √13) / 2)) + 2kπ и 2x = -arccos(√((-3 + √13) / 2)) + 2kπ (где k – целое число).
• 2x = arccos(-√((-3 + √13) / 2)) + 2kπ и 2x = -arccos(-√((-3 + √13) / 2)) + 2kπ.
8. Разделим на 2: Получаем окончательные решения для x:
• x = (arccos(√((-3 + √13) / 2)) + 2kπ) / 2,
• x = (-arccos(√((-3 + √13) / 2)) + 2kπ) / 2,
• x = (arccos(-√((-3 + √13) / 2)) + 2kπ) / 2,
• x = (-arccos(-√((-3 + √13) / 2)) + 2kπ) / 2.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения cos²4x + 3cos²2x - 1 = 0. Не забудьте подставить значения k для получения конкретных решений в зависимости от диапазона, который вас интересует.