Как решить уравнение cos(4x) - cos(2x) = 0 и найти корни, которые находятся на отрезке [π/2; 2π]?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрических функций решение уравнения cos(4x) - cos(2x) = 0 корни уравнения отрезок [π/2; 2π] алгебра 9 класс Новый

Чтобы решить уравнение cos(4x) - cos(2x) = 0, начнем с преобразования данного уравнения. Мы можем выразить его в более удобной форме:

Шаг 1: Переписываем уравнение

Уравнение можно записать как:

cos(4x) = cos(2x)

Шаг 2: Используем свойство косинуса

Согласно свойству косинуса, если cos(A) = cos(B), то:

• A = B + 2kπ, где k - целое число
• A = -B + 2kπ

Шаг 3: Применяем свойства к нашему уравнению

В нашем случае:

• 4x = 2x + 2kπ
• 4x = -2x + 2kπ

Шаг 4: Решаем первое уравнение

Решим первое уравнение:

1. 4x - 2x = 2kπ
2. 2x = 2kπ
3. x = kπ

Шаг 5: Решаем второе уравнение

Теперь решим второе уравнение:

1. 4x + 2x = 2kπ
2. 6x = 2kπ
3. x = (kπ)/3

Шаг 6: Находим корни на заданном отрезке

Теперь нам нужно найти корни на отрезке [π/2; 2π]. Рассмотрим оба найденных выражения:

Корни из x = kπ:

• k = 1: x = π (принадлежит отрезку)
• k = 2: x = 2π (принадлежит отрезку)
• k = 0: x = 0 (не принадлежит отрезку)

Корни из x = (kπ)/3:

• k = 2: x = (2π)/3 (принадлежит отрезку)
• k = 3: x = π (принадлежит отрезку)
• k = 4: x = (4π)/3 (принадлежит отрезку)
• k = 5: x = (5π)/3 (принадлежит отрезку)
• k = 6: x = 2π (принадлежит отрезку)

Шаг 7: Собираем все корни

Теперь соберем все корни, которые мы нашли:

• x = π
• x = 2π
• x = (2π)/3
• x = (4π)/3
• x = (5π)/3

Ответ:

Корни уравнения cos(4x) - cos(2x) = 0 на отрезке [π/2; 2π]: x = π, x = 2π, x = (2π)/3, x = (4π)/3, x = (5π)/3.