Как найти решение уравнения |x^2 + x - 1| = 2x - 1?

Алгебра 9 класс Модульные уравнения решение уравнения модульное уравнение алгебра 9 класс уравнения с модулем нахождение корней уравнения Новый

Чтобы решить уравнение |x^2 + x - 1| = 2x - 1, нужно учитывать, что модуль может принимать два значения: положительное и отрицательное. Поэтому мы рассмотрим два случая.

Шаг 1: Определяем случаи для модуля

• Случай 1: x^2 + x - 1 >= 0
• Случай 2: x^2 + x - 1 < 0

Случай 1: x^2 + x - 1 >= 0

В этом случае мы можем убрать модуль:

x^2 + x - 1 = 2x - 1

Шаг 2: Приводим уравнение к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 + x - 1 - 2x + 1 = 0

x^2 - x = 0

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

Факторизуем уравнение:

x(x - 1) = 0

Теперь находим корни:

• x = 0
• x = 1

Шаг 4: Проверяем условия для модуля

Теперь проверим, выполняется ли условие x^2 + x - 1 >= 0 для найденных корней:

• Для x = 0: 0^2 + 0 - 1 = -1 (не подходит)
• Для x = 1: 1^2 + 1 - 1 = 1 (подходит)

Случай 2: x^2 + x - 1 < 0

В этом случае мы меняем знак у выражения:

-(x^2 + x - 1) = 2x - 1

Решаем уравнение:

-x^2 - x + 1 = 2x - 1

Шаг 5: Приводим уравнение к стандартному виду

Переносим все члены в одну сторону:

-x^2 - x - 2x + 1 + 1 = 0

-x^2 - 3x + 2 = 0

Умножаем на -1:

x^2 + 3x - 2 = 0

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение

Находим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4*1*(-2) = 9 + 8 = 17

Теперь находим корни:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + sqrt(17)) / 2

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - sqrt(17)) / 2

Шаг 7: Проверяем условия для модуля

Теперь проверяем, выполняется ли условие x^2 + x - 1 < 0 для найденных корней:

• Для x1: подставляем и проверяем, выполняется ли неравенство.
• Для x2: подставляем и проверяем, выполняется ли неравенство.

Шаг 8: Итог

Таким образом, мы получаем решения уравнения:

• x = 1 (из первого случая)
• x1 и x2 (из второго случая, если они удовлетворяют условию)

Не забудьте проверить каждое найденное значение на соответствие условиям, чтобы убедиться, что они подходят для данного уравнения.