Как решить уравнение: |3x²-6x-1|=2|3-x|?

Алгебра 9 класс Модульные уравнения решить уравнение алгебра 9 класс модульные уравнения |3x²-6x-1|=2|3-x| уравнения с модулями Новый

Для решения уравнения |3x² - 6x - 1| = 2|3 - x|, сначала разберем обе стороны уравнения и определим, когда выражения внутри модулей могут быть положительными или отрицательными.

1. Начнем с выражения 3x² - 6x - 1. Найдем его корни, решив уравнение 3x² - 6x - 1 = 0. Для этого используем формулу дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 3 * (-1) = 36 + 12 = 48.
• Корни уравнения: x₁ = (6 + √48)/6 и x₂ = (6 - √48)/6.
• Корни приблизительно равны: x₁ ≈ 3.464 и x₂ ≈ -0.464.

2. Теперь определим знаки выражения 3x² - 6x - 1 в интервалах, образованных корнями:

• При x < -0.464: выражение положительное.
• При -0.464 < x < 3.464: выражение отрицательное.
• При x > 3.464: выражение положительное.

3. Теперь рассмотрим второе выражение 2|3 - x|. Нахождение корня уравнения 3 - x = 0 даст нам x = 3. Определим знаки:

• При x < 3: выражение положительное.
• При x > 3: выражение отрицательное.

4. Теперь мы можем рассмотреть все возможные случаи, в зависимости от знаков выражений:

1. Случай 1: x < -0.464
• Тогда 3x² - 6x - 1 = 3x² - 6x - 1 и 2|3 - x| = 2(3 - x).
• Решаем уравнение: 3x² - 6x - 1 = 2(3 - x).
• Упрощаем: 3x² - 6x - 1 = 6 - 2x.
• Переносим все в одну сторону: 3x² - 4x - 7 = 0.
• Решаем это квадратное уравнение.
2. Случай 2: -0.464 < x < 3
• Здесь 3x² - 6x - 1 = -(3x² - 6x - 1) и 2|3 - x| = 2(3 - x).
• Решаем уравнение: -(3x² - 6x - 1) = 2(3 - x).
• Упрощаем: -3x² + 6x + 1 = 6 - 2x.
• Переносим все в одну сторону: -3x² + 8x - 5 = 0.
• Решаем это квадратное уравнение.
3. Случай 3: x > 3
• Тогда 3x² - 6x - 1 = 3x² - 6x - 1 и 2|3 - x| = -2(3 - x).
• Решаем уравнение: 3x² - 6x - 1 = -2(3 - x).
• Упрощаем: 3x² - 6x - 1 = -6 + 2x.
• Переносим все в одну сторону: 3x² - 8x + 5 = 0.
• Решаем это квадратное уравнение.

5. После нахождения корней в каждом из случаев, проверяем, удовлетворяют ли они условиям каждого интервала. Это позволит нам найти все возможные решения уравнения.