Как определить точку максимума для функции у=0,5х^2 -23х+60lnx-5 и функции у=ln(x-8)-5x+14?

Алгебра 9 класс Оптимизация функций определить точку максимума функция у алгебра 9 класс у=0,5х^2 у=ln(x-8) функции максимальная точка решение задач производная функции анализ функции Новый

Чтобы определить точку максимума для функций, нам нужно найти производные этих функций и решить уравнение, приравняв производную к нулю. Затем мы проверим, является ли найденная точка максимумом или минимумом. Рассмотрим обе функции по очереди.

1. Функция у=0,5х^2 -23х+60lnx-5

Шаги решения:

1. Найдем первую производную функции:
   • Производная от 0,5х^2 равна х.
   • Производная от -23х равна -23.
   • Производная от 60lnx равна 60/x.
   • Производная от -5 равна 0.

   Таким образом, первая производная функции будет:

   y' = х - 23 + 60/x

2. Приравняем первую производную к нулю:

   0 = х - 23 + 60/x

   Перепишем уравнение:

   х - 23 + 60/x = 0

   Умножим обе стороны на x (x > 0):

   x^2 - 23x + 60 = 0

3. Решим квадратное уравнение:

   Используем дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4*1*60 = 529 - 240 = 289

   Корни уравнения:

   x1 = (23 + sqrt(289))/2 = 28, x2 = (23 - sqrt(289))/2 = -5

   Так как x должен быть положительным, принимаем x = 28.

4. Проверим, является ли это максимумом:

   Найдём вторую производную:

   y'' = 1 - 60/x^2

   Подставим x = 28:

   y''(28) = 1 - 60/(28^2) < 0, значит, это максимум.

2. Функция у=ln(x-8)-5x+14

Шаги решения:

1. Найдем первую производную функции:
   • Производная от ln(x-8) равна 1/(x-8).
   • Производная от -5x равна -5.
   • Производная от 14 равна 0.

   Таким образом, первая производная функции будет:

   y' = 1/(x-8) - 5

2. Приравняем первую производную к нулю:

   0 = 1/(x-8) - 5

   1/(x-8) = 5

   x - 8 = 1/5

   x = 8 + 1/5 = 41/5 = 8.2

3. Проверим, является ли это максимумом:

   Найдём вторую производную:

   y'' = -1/(x-8)^2

   Подставим x = 8.2:

   y''(8.2) < 0, значит, это максимум.

В итоге, для первой функции максимум достигается при x = 28, а для второй функции максимум достигается при x = 8.2.