Как подробно построить график функции: |x-1| : (x-1) * (x+1)?

Алгебра 9 класс Графики функций график функции построение графика функция модуля алгебра 9 класс |x-1| : (x-1) * (x+1) Новый

Чтобы построить график функции f(x) = |x - 1| / ((x - 1) * (x + 1)), нам нужно пройти несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение области определения функции

Сначала найдем, где функция определена. Функция будет неопределена там, где знаменатель равен нулю. Найдем корни знаменателя:

• (x - 1) = 0 ⇒ x = 1
• (x + 1) = 0 ⇒ x = -1

Таким образом, функция не определена в точках x = 1 и x = -1. Следовательно, область определения функции:

D(f) = R \ {1, -1}

Шаг 2: Анализ числителя

Теперь посмотрим на числитель |x - 1|. Он меняет знак в точке x = 1. Это означает, что мы можем рассмотреть два случая:

• Если x < 1, то |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x
• Если x ≥ 1, то |x - 1| = x - 1

Шаг 3: Построение функции по частям

Теперь мы можем записать функцию по частям:

• Для x < 1: f(x) = (1 - x) / ((x - 1) * (x + 1)) = -(1 - x) / ((1 - x) * (x + 1)) = -1 / (x + 1)
• Для x > 1: f(x) = (x - 1) / ((x - 1) * (x + 1)) = 1 / (x + 1)

Шаг 4: Исследование поведения функции

Теперь исследуем поведение функции на интервалах:

• Для x < -1: f(x) = -1 / (x + 1) (значение отрицательное и стремится к 0 при x → -1)
• Для -1 < x < 1: f(x) = -1 / (x + 1) (значение также отрицательное и стремится к -∞ при x → -1)
• Для x > 1: f(x) = 1 / (x + 1) (значение положительное и стремится к 0 при x → ∞)

Шаг 5: Нахождение асимптот

У нас есть вертикальные асимптоты в точках x = 1 и x = -1. Горизонтальная асимптота y = 0, так как f(x) стремится к 0 при x → ±∞.

Шаг 6: Построение графика

Теперь мы можем построить график функции:

• Нарисуйте вертикальные асимптоты в x = 1 и x = -1.
• На интервале x < -1 график будет находиться ниже оси x и стремиться к 0.
• На интервале -1 < x < 1 график также будет находиться ниже оси x и стремиться к -∞ при x → -1.
• На интервале x > 1 график будет находиться выше оси x и стремиться к 0.

Таким образом, мы построили график функции f(x) = |x - 1| / ((x - 1) * (x + 1)). Обязательно отметьте точки разрыва и асимптоты на графике для лучшего понимания поведения функции.