Чтобы построить график функции y = 9x + (1/9)x^2 + x и определить, при каких значениях k прямая y = kx пересекает график в ровно одной точке, следуем следующим шагам:

Функцию можно упростить. Объединим подобные члены:

• y = (1/9)x^2 + 10x.

Чтобы понять, как ведет себя график функции, найдем ее производную:

• y' = (2/9)x + 10.

Для этого приравняем производную к нулю:

• (2/9)x + 10 = 0.
• (2/9)x = -10.
• x = -10 * (9/2) = -45.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = -45.

Чтобы прямая касалась графика функции в одной точке, необходимо, чтобы уравнение:

• (1/9)x^2 + (10 - k)x = 0

имело ровно одно решение. Это происходит, когда дискриминант равен нулю.

Формула для дискриминанта D:

• D = b^2 - 4ac.

В нашем случае:

• a = 1/9,
• b = 10 - k,
• c = 0.

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

• D = (10 - k)^2 - 4 * (1/9) * 0 = (10 - k)^2.

Чтобы прямая касалась графика в одной точке, дискриминант должен быть равен нулю:

• (10 - k)^2 = 0.

Это уравнение имеет решение:

• 10 - k = 0,
• k = 10.

Таким образом, прямая y = kx будет пересекать график функции y = 9x + (1/9)x^2 + x в ровно одной точке, если k = 10.

Теперь вы можете построить график функции и прямой, чтобы визуально убедиться в этом результате!