Как построить график функции y=|x-1|-|x+1|+x и найти все значения k, при которых прямая y=kx пересекает этот график ровно в одной точке?

Алгебра 9 класс Графики функций и их пересечения график функции y=|x-1|-|x+1|+x прямая y=kx пересечение графиков алгебра 9 класс значения k одна точка пересечения Новый

Для начала, давайте разберем функцию y = |x - 1| - |x + 1| + x. Чтобы построить график этой функции, нам нужно учитывать, что абсолютные значения меняют свое поведение в зависимости от значений x. Поэтому мы определим критические точки, в которых выражения внутри абсолютных значений равны нулю.

Критические точки:

• x - 1 = 0 → x = 1
• x + 1 = 0 → x = -1

Теперь мы можем разбить ось x на три интервала, чтобы рассмотреть поведение функции на каждом из них:

• Интервал 1: x < -1
• Интервал 2: -1 ≤ x < 1
• Интервал 3: x ≥ 1

Теперь найдем выражение для y на каждом из этих интервалов:

1. Интервал 1 (x < -1):
• y = -(x - 1) - (x + 1) + x = -x + 1 - x - 1 + x = -x
2. Интервал 2 (-1 ≤ x < 1):
• y = -(x - 1) + (x + 1) + x = -x + 1 + x + 1 + x = x + 2
3. Интервал 3 (x ≥ 1):
• y = (x - 1) - (x + 1) + x = x - 1 - x - 1 + x = x - 2

Теперь мы можем записать функцию y в виде кусочной функции:

• y = -x, при x < -1
• y = x + 2, при -1 ≤ x < 1
• y = x - 2, при x ≥ 1

Теперь, чтобы найти значения k, при которых прямая y = kx пересекает график функции y ровно в одной точке, мы приравняем y = kx к каждому из кусочных выражений и решим уравнения.

1. Для интервала 1 (x < -1):

-x = kx

(k + 1)x = 0

Решение: x = 0, но это не подходит, так как 0 не принадлежит интервалу x < -1.

2. Для интервала 2 (-1 ≤ x < 1):

x + 2 = kx

(k - 1)x = 2

Решение: x = 2/(k - 1). Это значение x должно находиться в интервале -1 ≤ x < 1.

Таким образом, 2/(k - 1) ≥ -1 и 2/(k - 1) < 1.

Решим эти два неравенства:

• 1) 2/(k - 1) ≥ -1 → 2 ≥ -k + 1 → k ≥ -1
• 2) 2/(k - 1) < 1 → 2 < k - 1 → k > 3

Таким образом, для интервала 2 мы получаем, что k должно быть больше 3.

3. Для интервала 3 (x ≥ 1):

x - 2 = kx

(1 - k)x = 2

Решение: x = 2/(1 - k). Это значение x должно находиться в интервале x ≥ 1.

Таким образом, 2/(1 - k) ≥ 1.

Решим это неравенство:

• 2 ≥ 1 - k → k ≥ -1.

Таким образом, для интервала 3 мы получаем, что k должно быть меньше 1.

Итак, подводя итог:

Прямая y = kx пересекает график функции y = |x - 1| - |x + 1| + x ровно в одной точке, если k > 3 или k < 1.