Чтобы построить график функции y = f(x) и определить, при каких значениях переменной функция принимает положительные и отрицательные значения, а также наибольшее или наименьшее значение, следуйте этим шагам:

1. Определите вид функции: Посмотрите на функцию. Если это квадратная функция (то есть имеет вид ax² + bx + c), то она будет параболой.
2. Найдите координаты вершины параболы: Для квадратной функции y = ax² + bx + c координаты вершины можно найти по формуле:
   • x_вершины = -b / (2a)
   • y_вершины = f(x_вершины)
3. Определите направление ветвей параболы: Если a > 0, парабола открыта вверх, если a < 0, то вниз.
4. Найдите нули функции: Для этого решите уравнение f(x) = 0. Это поможет определить, при каких значениях x функция положительна или отрицательна.
5. Постройте график функции: Используя найденные точки (вершину и нули), нарисуйте график.
6. Определите положительные и отрицательные значения: Посмотрите на график и определите, где функция выше оси x (положительные значения) и ниже оси x (отрицательные значения).
7. Наибольшее и наименьшее значение: Если парабола открыта вверх, то наименьшее значение – это y_вершины. Если вниз – то наибольшее значение.

Теперь давайте применим эти шаги к каждой из указанных функций:

1. f(x) = x² + 2
   • Вершина: x = 0, y = 2.
   • Нули: нет (функция всегда положительна).
   • Положительные значения: x ∈ R.
   • Наименьшее значение: 2.
2. f(x) = -4x² + 4
   • Вершина: x = 0, y = 4.
   • Нули: x = ±1.
   • Положительные значения: -1 < x < 1.
   • Наибольшее значение: 4.
3. f(x) = 2x - 3x²
   • Вершина: x = 1/3, y = 2/3.
   • Нули: x = 0 и x = 2/3.
   • Положительные значения: 0 < x < 2/3.
   • Наибольшее значение: 2/3.
4. f(x) = 4x² - 8x
   • Вершина: x = 1, y = -4.
   • Нули: x = 0 и x = 2.
   • Положительные значения: x > 2 или x < 0.
   • Наименьшее значение: -4.
5. f(x) = 6x² - 2x - 3
   • Вершина: x = 1/6, y = -4.
   • Нули: x = -1 и x = 0.5.
   • Положительные значения: x < -1 или x > 0.5.
   • Наименьшее значение: -4.
6. f(x) = x² - 3x + 2
   • Вершина: x = 1.5, y = -0.25.
   • Нули: x = 1 и x = 2.
   • Положительные значения: x < 1 или x > 2.
   • Наименьшее значение: -0.25.
7. f(x) = 2x² - 2.5
   • Вершина: x = 0, y = -2.5.
   • Нули: x = ±1.25.
   • Положительные значения: x < -1.25 или x > 1.25.
   • Наименьшее значение: -2.5.
8. f(x) = -1.5x² - 3
   • Вершина: x = 0, y = -3.
   • Нули: нет (функция всегда отрицательна).
   • Отрицательные значения: x ∈ R.
   • Наибольшее значение: -3.
9. f(x) = x - 4x²
   • Вершина: x = 1/8, y = 1/16.
   • Нули: x = 0 и x = 1/4.
   • Положительные значения: 0 < x < 1/4.
   • Наибольшее значение: 1/16.
10. f(x) = x² - 6x
    • Вершина: x = 3, y = -9.
    • Нули: x = 0 и x = 6.
    • Положительные значения: x < 0 или x > 6.
    • Наименьшее значение: -9.
11. f(x) = -3 - 4x + 2x²
    • Вершина: x = 1, y = -5.
    • Нули: x = -1 и x = 3.
    • Положительные значения: -1 < x < 3.
    • Наименьшее значение: -5.
12. f(x) = -2 - 2x - x²
    • Вершина: x = -1, y = -1.
    • Нули: x = -1 ± √(-1) (нет действительных корней).
    • Отрицательные значения: x ∈ R.
    • Наибольшее значение: -1.

Таким образом, для каждой функции мы определили важные характеристики, которые помогут вам понять, как строить графики и анализировать функции.