Постройте график функции y=1/2(|x/2-2/x|+x/2+2/x). При каких значениях m прямая y=m будет иметь с графиком ровно одну общую точку?

Алгебра 9 класс Графики функций и их свойства алгебра 9 класс график функции y=1/2(|x/2-2/x|+x/2+2/x) прямая y=m одна общая точка значения m построение графика анализ функции пересечение графика математический анализ Новый

Давайте разберем функцию y = 1/2(|x/2 - 2/x| + x/2 + 2/x) и построим её график, а также найдем значения m, при которых прямая y = m будет иметь ровно одну общую точку с графиком этой функции.

Шаг 1: Определение области определения функции

Сначала определим область определения функции. В данном случае, мы видим, что функция содержит дробь с x в знаменателе. Поэтому x не может равняться нулю. Таким образом, область определения D(y) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Шаг 2: Раскрытие модуля

Теперь раскроим модуль. Для этого рассмотрим выражение (x/2 - 2/x). Чтобы понять, когда это выражение положительно или отрицательно, решим неравенство:

• (x/2 - 2/x) >= 0
  Это неравенство можно переписать в виде (x^2 - 4) >= 0.

Теперь решим неравенство (x^2 - 4) >= 0. Оно равносильно (x - 2)(x + 2) >= 0. Находим корни уравнения: x = -2 и x = 2. Теперь используем метод интервалов:

• Интервалы: (-∞, -2), (-2, 2), (2, +∞)
• Проверяем знак на каждом интервале:
• На интервале (-∞, -2) выражение положительно.
• На интервале (-2, 2) выражение отрицательно.
• На интервале (2, +∞) выражение положительно.

Таким образом, x ∈ (-∞; -2] ∪ [2; +∞).

Шаг 3: Подстановка значений в функцию

Теперь можем выразить функцию без модуля:

• Для x ∈ (-∞; -2]: y = 1/2((-x/2 + 2/x) + x/2 + 2/x) = 1/2(0) = 0.
• Для x ∈ [2; +∞): y = 1/2((x/2 - 2/x) + x/2 + 2/x) = 1/2(x).

Таким образом, функция в этих интервалах будет равна:

• Для x ≤ -2: y = 0
• Для x ≥ 2: y = 0.5x

Шаг 4: Построение графика функции

Теперь мы можем построить график функции. Для этого определим несколько точек:

• Когда x = -2, y = 0.
• Когда x = 2, y = 1.
• Когда x = 4, y = 2.

График будет представлять собой горизонтальную линию (для x ≤ -2) и прямую (для x ≥ 2), которая проходит через точку (2, 1).

Шаг 5: Поиск значений m

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m будет касаться графика функции в одной точке. Прямая y = 0 будет касаться графика в точке (-2, 0) и (2, 0), но это две точки. Прямая y = 1 будет касаться графика в единственной точке (2, 1).

Таким образом, прямая y = m будет иметь ровно одну общую точку с графиком функции, когда m = 1.

В заключение, мы нашли, что значение m, при котором прямая будет касаться графика функции в одной точке – это m = 1.