Как построить график функции y=x^2-|4x+3| и выяснить, при каких значениях m прямая y=m пересекает график в ровно трех точках?

Мне нужно не только решение, но и график. У меня что-то не получается.

Алгебра 9 класс Графики функций и их свойства график функции пересечение графика алгебра 9 класс y=x^2-|4x+3| прямая y=m три точки пересечения построение графика решение уравнения Новый

Для того чтобы построить график функции y = x^2 - |4x + 3| и выяснить, при каких значениях m прямая y = m пересекает график в ровно трех точках, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определим функцию без модуля

Сначала разберем модуль в зависимости от значения x. Модуль |4x + 3| можно заменить на два случая:

• Если 4x + 3 >= 0 (то есть x >= -3/4), то |4x + 3| = 4x + 3.
• Если 4x + 3 < 0 (то есть x < -3/4), то |4x + 3| = -(4x + 3) = -4x - 3.

Шаг 2: Запишем функцию в двух случаях

Теперь запишем функцию y в зависимости от x:

• Для x >= -3/4: y = x^2 - (4x + 3) = x^2 - 4x - 3.
• Для x < -3/4: y = x^2 - (-4x - 3) = x^2 + 4x + 3.

Шаг 3: Построим график

Теперь нам нужно построить график обеих функций:

• y = x^2 - 4x - 3 (парабола, открытая вверх, с вершиной в точке, которую можно найти по формуле -b/2a).
• y = x^2 + 4x + 3 (также парабола, открытая вверх).

Шаг 4: Найдем вершины парабол

Для первой функции:

• a = 1, b = -4, c = -3.
• Вершина: x = -(-4)/(2*1) = 2. Подставим x = 2 в функцию: y = 2^2 - 4*2 - 3 = 4 - 8 - 3 = -7.

Таким образом, вершина первой параболы находится в точке (2, -7).

Для второй функции:

• a = 1, b = 4, c = 3.
• Вершина: x = -4/(2*1) = -2. Подставим x = -2 в функцию: y = (-2)^2 + 4*(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

Таким образом, вершина второй параболы находится в точке (-2, -1).

Шаг 5: Найдем пересечения с прямой y = m

Чтобы прямая y = m пересекала график функции в ровно трех точках, она должна касаться одной из парабол и пересекать другую. Это возможно, если:

• y = m касается одной из парабол в одной точке (дискриминант равен нулю).
• y = m пересекает другую параболу в двух точках (дискриминант больше нуля).

Шаг 6: Найдем условия для m

Рассмотрим первую параболу:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*(-m - 3) = 16 + 4m + 12 = 4m + 28.
• Для касания D = 0: 4m + 28 = 0, m = -7.

Теперь для второй параболы:

• Дискриминант D = 4^2 - 4*1*(-m - 3) = 16 + 4m + 12 = 4m + 28.
• Для пересечения D > 0: 4m + 28 > 0, m > -7.

Шаг 7: Итог

Таким образом, прямая y = m будет пересекаться с графиком функции в ровно трех точках при:

• m = -7 (касание первой параболы) и
• m > -7 (пересечение второй параболы).

В результате, m должен быть больше -7, чтобы прямая пересекала график функции в трех точках.

Теперь, чтобы построить график, используйте графический калькулятор или программу для построения графиков, где можно задать функции y = x^2 - 4x - 3 и y = x^2 + 4x + 3, а затем провести прямую y = m, где m > -7.