Чтобы построить график функции y = (x^4 - 20x^2 + 64) / ((x + 2)(x - 4)),нам нужно сначала упростить эту функцию и определить ее свойства, такие как нули, асимптоты и поведение на бесконечности.

Нули функции находятся там, где числитель равен нулю:

• x^4 - 20x^2 + 64 = 0.

Подставим z = x^2, тогда уравнение примет вид:

• z^2 - 20z + 64 = 0.

Решим это квадратное уравнение по формуле:

• z = (20 ± √(20² - 4 * 1 * 64)) / (2 * 1).
• z = (20 ± √(400 - 256)) / 2.
• z = (20 ± √144) / 2.
• z = (20 ± 12) / 2.

Таким образом, мы получаем:

• z1 = 16, z2 = 4.

Теперь вернемся к x:

• x^2 = 16 → x = ±4.
• x^2 = 4 → x = ±2.

Итак, нули функции: x = -4, -2, 2, 4.

Точки разрыва находятся там, где знаменатель равен нулю:

• (x + 2)(x - 4) = 0.

Это происходит при:

• x = -2, x = 4.

Таким образом, у нас есть точки разрыва в x = -2 и x = 4.

Поскольку у нас есть точки разрыва, мы можем ожидать вертикальные асимптоты в этих точках:

• Вертикальная асимптота: x = -2 и x = 4.

Теперь рассмотрим поведение функции, когда x стремится к бесконечности:

• При x → ±∞, y стремится к x^2, так как степень числителя выше степени знаменателя.

С учетом всех найденных данных, мы можем построить график функции. Он будет иметь:

• Нули в x = -4, -2, 2, 4.
• Вертикальные асимптоты в x = -2 и x = 4.
• Горизонтальную асимптоту y = +∞ при x → ±∞.

Чтобы прямая y = k имела ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо, чтобы k совпадало с одним из экстремумов функции или касалось графика в точке разрыва.

Экстремумы находятся, когда производная функции равна нулю. Для этого нам нужно найти производную:

• Используем правило частного для нахождения производной.

После нахождения производной, мы приравниваем ее к нулю и решаем уравнение. Это даст нам значения x, при которых функция достигает максимумов или минимумов.

После нахождения экстремумов, мы можем подставить их в функцию, чтобы найти соответствующие значения k. Если k равно значению функции в этих точках, прямая y = k будет касаться графика в одной точке.

Таким образом, процесс состоит из нахождения нулей, разрывов, асимптот и экстремумов, что позволяет построить график и определить значения k.