Как построить график квадратичной функции, если даны уравнения y=2x²-4x-6 и y=3x²+6x-9? Какие шаги нужно выполнить для выделения полного квадрата, определения координат вершины и проверки их правильности с помощью формулы? Как записать уравнение квадратичной функции в разных формах и изменить его, чтобы график отражался и смещался?

Алгебра 9 класс Графики квадратичных функций график квадратичной функции уравнения y=2x²-4x-6 уравнения y=3x²+6x-9 построение графика выделение полного квадрата координаты вершины проверка координат формула квадратичной функции уравнение в разных формах смещение графика Новый

Чтобы построить график квадратичной функции, такой как y=2x²-4x-6 и y=3x²+6x-9, нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Шаг 1: Приведение уравнения к канонической форме

Каноническая форма квадратичной функции выглядит как y = a(x - h)² + k, где (h, k) - координаты вершины параболы. Для этого мы будем использовать метод выделения полного квадрата.

Для y=2x²-4x-6:

1. Вынесем 2 из первых двух членов: y = 2(x² - 2x) - 6.
2. Теперь выделим полный квадрат в скобках. Для этого нужно взять половину коэффициента при x (в нашем случае -2), возвести его в квадрат и добавить/вычесть это значение:
   • (-2/2)² = 1.
3. Добавляем и вычитаем 1 внутри скобок: y = 2(x² - 2x + 1 - 1) - 6.
4. Теперь перепишем: y = 2((x - 1)² - 1) - 6.
5. Упростим: y = 2(x - 1)² - 2 - 6 = 2(x - 1)² - 8.
6. Таким образом, вершина функции находится в точке (1, -8).

Для y=3x²+6x-9:

1. Вынесем 3 из первых двух членов: y = 3(x² + 2x) - 9.
2. Выделяем полный квадрат: (2/2)² = 1.
3. Добавляем и вычитаем 1: y = 3(x² + 2x + 1 - 1) - 9.
4. Переписываем: y = 3((x + 1)² - 1) - 9.
5. Упрощаем: y = 3(x + 1)² - 3 - 9 = 3(x + 1)² - 12.
6. Вершина этой функции находится в точке (-1, -12).

Шаг 2: Построение графиков

Теперь, когда у нас есть вершины, мы можем построить графики:

• Для y=2(x-1)²-8, вершина (1, -8) является точкой минимума, и парабола открыта вверх.
• Для y=3(x+1)²-12, вершина (-1, -12) также является точкой минимума, и эта парабола также открыта вверх.

Шаг 3: Проверка координат вершины с помощью формулы

Координаты вершины можно также найти с помощью формулы h = -b/(2a), где a и b - коэффициенты из уравнения в стандартной форме ax² + bx + c.

• Для y=2x²-4x-6: a=2, b=-4. h = -(-4)/(2*2) = 1.
• Для y=3x²+6x-9: a=3, b=6. h = -6/(2*3) = -1.

Шаг 4: Изменение уравнения для сдвига и отражения графика

Чтобы изменить график, можно использовать следующие преобразования:

• Сдвиг вверх/вниз: добавление или вычитание числа из уравнения (например, y = 2(x - 1)² - 8 + 2 сдвинет график вверх на 2 единицы).
• Сдвиг влево/вправо: изменение h в канонической форме (например, y = 2(x - 2)² - 8 сдвинет график вправо на 1 единицу).
• Отражение: если перед x² стоит отрицательный коэффициент, например, y = -2(x - 1)² - 8, то график отразится относительно оси x.

Таким образом, мы рассмотрели основные шаги по построению графиков квадратичных функций, выделению полного квадрата, определению координат вершины и изменению уравнения для сдвига или отражения графика.