Чтобы построить и исследовать функцию f(x) = -x^4/4 + 2x^2 - 7/4 на отрезке [-1; 2], мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем их по порядку.

Сначала найдем первую производную функции, чтобы определить критические точки, где функция может принимать максимальные или минимальные значения.

f'(x) = -x^3 + 4x.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

-x^3 + 4x = 0.

Вынесем x за скобки:

x(-x^2 + 4) = 0.

Это уравнение имеет решения:

• x = 0,
• -x^2 + 4 = 0 => x^2 = 4 => x = ±2.

Таким образом, критические точки: x = 0, x = 2, x = -2. Однако, так как мы исследуем функцию на отрезке [-1; 2], нас интересует только x = 0 и x = 2.

Теперь найдем значения функции f(x) в критических точках и на границах отрезка:

• f(-1) = -(-1)^4/4 + 2(-1)^2 - 7/4 = -1/4 + 2 - 7/4 = -1/4 + 8/4 - 7/4 = 0.
• f(0) = -(0)^4/4 + 2(0)^2 - 7/4 = -7/4 = -1.75.
• f(2) = -(2)^4/4 + 2(2)^2 - 7/4 = -16/4 + 8 - 7/4 = -4 + 8 - 7/4 = 4 - 7/4 = 16/4 - 7/4 = 9/4 = 2.25.

Теперь сравним полученные значения:

• f(-1) = 0,
• f(0) = -1.75,
• f(2) = 2.25.

На основании вычисленных значений, мы можем определить:

• Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 2] равно f(2) = 2.25.
• Наименьшее значение функции на отрезке [-1; 2] равно f(0) = -1.75.

Для построения графика функции можно использовать значения, которые мы нашли, а также дополнительные значения для более точного изображения. Например, можно взять значения f(x) для x = -1, -0.5, 0.5, 1, 1.5, 2.

После этого можно построить график, соединяя найденные точки.

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = -x^4/4 + 2x^2 - 7/4 на отрезке [-1; 2] и нашли наибольшее и наименьшее значение.