Для решения неравенства ctg(3π/2 + x) + 2ctg(3π/2 - x) ≤ -1, начнем с преобразования тригонометрических функций. Мы знаем, что котангенс имеет следующие свойства:

• ctg(α + π) = ctg(α)
• ctg(π/2 - α) = tg(α)

Исходя из этого, можем упростить выражение:

1. ctg(3π/2 + x) = ctg(π/2 + x) = -tg(x)
2. ctg(3π/2 - x) = ctg(-π/2 + x) = -tg(x)

Теперь подставим эти преобразования в неравенство:

-tg(x) + 2(-tg(x)) ≤ -1

Упрощаем:

-tg(x) - 2tg(x) ≤ -1

-3tg(x) ≤ -1

Теперь умножим обе стороны неравенства на -1, не забывая сменить знак неравенства:

3tg(x) ≥ 1

Теперь делим обе стороны на 3:

tg(x) ≥ 1/3

Теперь нам нужно найти, где tg(x) ≥ 1/3. Для этого найдем углы, при которых tg(x) = 1/3:

tg(x) = 1/3 в первой и третьей четвертях. Мы можем использовать арктангенс для нахождения угла:

x = arctg(1/3) + kπ, где k - любое целое число.

Теперь, чтобы найти область решения, нам нужно определить, в каких интервалах tg(x) ≥ 1/3. Это происходит в следующих интервалах:

• x ∈ (arctg(1/3) + kπ, π/2 + kπ), где k - любое целое число.
• или
• x ∈ (3π/2 + kπ, arctg(1/3) + 2kπ), где k - любое целое число.

Таким образом, окончательный ответ будет в виде интервалов, описывающих решения неравенства:

x ∈ (arctg(1/3) + kπ, π/2 + kπ) ∪ (3π/2 + kπ, arctg(1/3) + 2kπ), где k - любое целое число.