Чтобы решить неравенство tg²x + (1 - √3)tgx - √3 < 0, начнем с замены переменной. Обозначим tgx как t. Тогда неравенство примет вид:

t² + (1 - √3)t - √3 < 0

Теперь мы имеем квадратное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

t² + (1 - √3)t - √3 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Здесь a = 1, b = (1 - √3), c = -√3. Подставим значения в формулу:

• b² = (1 - √3)² = 1 - 2√3 + 3 = 4 - 2√3
• 4ac = 4 * 1 * (-√3) = -4√3
• Дискриминант D = b² - 4ac = (4 - 2√3) - (-4√3) = 4 - 2√3 + 4√3 = 4 + 2√3

Теперь найдем корни:

t = (-(1 - √3) ± √(4 + 2√3)) / 2

Упростим выражение. Обозначим D = √(4 + 2√3). Теперь найдем два корня:

• t₁ = (√3 - 1 + D) / 2
• t₂ = (√3 - 1 - D) / 2

Теперь нужно определить, при каких значениях t неравенство t² + (1 - √3)t - √3 < 0 выполняется. Это неравенство будет выполняться между корнями t₁ и t₂, если t₁ > t₂.

Теперь найдем значения t₁ и t₂ и сравним их:

После вычислений мы можем определить, что:

• t < t₂ или t > t₁ - это промежутки, где неравенство t² + (1 - √3)t - √3 < 0 выполняется.

Теперь вернемся к переменной tgx. Мы знаем, что:

• tgx < t₂ или tgx > t₁.

Теперь нужно найти значения x, соответствующие этим t (tgx). Не забудьте, что tgx имеет период π, то есть:

• Если tgx < t₂, то x = arctg(t₂) + kπ, где k - любое целое число.
• Если tgx > t₁, то x = arctg(t₁) + kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы получили решение неравенства. Не забудьте указать промежутки для x, учитывая периодичность функции тангенса.