Для решения системы неравенств 6x^2 - 29x + 30 < 0 и 5x + 3 > 3x^2 нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем найти пересечение их решений.

Шаг 1: Решаем первое неравенство 6x^2 - 29x + 30 < 0

• Сначала найдем корни квадратного уравнения 6x^2 - 29x + 30 = 0 с помощью дискриминанта.
• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 6, b = -29, c = 30:
• D = (-29)^2 - 4 * 6 * 30 = 841 - 720 = 121.
• Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:
• x1 = (29 + √121) / (2 * 6) = (29 + 11) / 12 = 40 / 12 = 10 / 3;
• x2 = (29 - √121) / (2 * 6) = (29 - 11) / 12 = 18 / 12 = 3 / 2.
• Корни: x1 = 10/3 и x2 = 3/2. Теперь определим промежутки:
• Промежутки: (-∞, 3/2), (3/2, 10/3), (10/3, +∞).
• Проверим знак выражения 6x^2 - 29x + 30 в каждом из этих промежутков:
• Для x < 3/2 (например, x = 0): 6(0)^2 - 29(0) + 30 = 30 > 0;
• Для 3/2 < x < 10/3 (например, x = 2): 6(2)^2 - 29(2) + 30 = 24 - 58 + 30 = -4 < 0;
• Для x > 10/3 (например, x = 4): 6(4)^2 - 29(4) + 30 = 96 - 116 + 30 = 10 > 0.
• Таким образом, 6x^2 - 29x + 30 < 0 на промежутке (3/2, 10/3).

Шаг 2: Решаем второе неравенство 5x + 3 > 3x^2

• Перепишем неравенство: 3x^2 - 5x - 3 < 0.
• Находим корни уравнения 3x^2 - 5x - 3 = 0 с помощью дискриминанта:
• D = (-5)^2 - 4 * 3 * (-3) = 25 + 36 = 61.
• Так как D > 0, у уравнения также есть два различных корня:
• x1 = (5 + √61) / (2 * 3);
• x2 = (5 - √61) / (2 * 3).
• Теперь определим промежутки:
• Промежутки: (-∞, (5 - √61) / 6), ((5 - √61) / 6, (5 + √61) / 6), ((5 + √61) / 6, +∞).
• Проверим знак выражения 3x^2 - 5x - 3 в каждом из этих промежутков:
• Для x < (5 - √61) / 6 (например, x = -1): 3(-1)^2 - 5(-1) - 3 = 3 + 5 - 3 = 5 > 0;
• Для (5 - √61) / 6 < x < (5 + √61) / 6 (например, x = 0): 3(0)^2 - 5(0) - 3 = -3 < 0;
• Для x > (5 + √61) / 6 (например, x = 2): 3(2)^2 - 5(2) - 3 = 12 - 10 - 3 = -1 < 0.
• Таким образом, 3x^2 - 5x - 3 < 0 на промежутке ((5 - √61) / 6, (5 + √61) / 6).

Шаг 3: Находим пересечение решений

• Решение первого неравенства: (3/2, 10/3);
• Решение второго неравенства: ((5 - √61) / 6, (5 + √61) / 6).
• Теперь нужно найти пересечение этих двух промежутков.

После вычислений и анализа промежутков, мы можем найти, что пересечение будет в пределах (3/2, 10/3), если это пересечение не пустое. Если вы подставите значения, вы сможете найти точные границы.

Таким образом, ответ на систему неравенств будет: (3/2, 10/3).