Чтобы решить систему неравенств, давайте сначала проанализируем каждое из них по отдельности.

Первое неравенство: x^2 + y^2 = 16.

Это уравнение представляет собой окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом 4, так как 16 = 4^2. Все точки (x, y), которые удовлетворяют этому уравнению, находятся на окружности.

Второе неравенство: x + y = a.

Это уравнение представляет собой прямую, наклон которой равен -1. Параметр "a" определяет, на каком уровне по оси y будет находиться эта прямая. Если a положительно, прямая будет находиться выше, если отрицательно — ниже.

Теперь мы можем решить систему. Для этого нам нужно найти, какие точки (x, y) удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

1. Сначала выразим y из второго уравнения: y = a - x.
2. Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение:
• x^2 + (a - x)^2 = 16.
3. Раскроем скобки:
• x^2 + (a^2 - 2ax + x^2) = 16.
4. Соберем подобные слагаемые:
• 2x^2 - 2ax + a^2 - 16 = 0.
5. Теперь это квадратное уравнение относительно x. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:
• D = (-2a)^2 - 4 * 2 * (a^2 - 16) = 4a^2 - 8(a^2 - 16) = 4a^2 - 8a^2 + 128 = -4a^2 + 128.
• Чтобы уравнение имело решения (то есть чтобы прямая пересекала окружность), дискриминант D должен быть больше или равен нулю:
• -4a^2 + 128 >= 0.
• Решим это неравенство:
• 4a^2 <= 128.
• a^2 <= 32.
• -√32 <= a <= √32.
• Таким образом, a должен находиться в пределах от -4√2 до 4√2.

Таким образом, система неравенств имеет решения, когда параметр a находится в пределах от -4√2 до 4√2. Если a находится за пределами этого интервала, прямая не будет пересекаться с окружностью, и решений не будет.