Как решить уравнение 2 √x + √(1-4x) = 1 в действительных числах?

Алгебра 9 класс Уравнения с корнями уравнение решение уравнения алгебра действительные числа квадратный корень 2 √x √(1-4x) математические задачи 9 класс Новый

Чтобы решить уравнение 2 √x + √(1-4x) = 1 в действительных числах, следуем следующим шагам:

1. Определим область определения:
   • Сначала рассмотрим √x. Для того чтобы √x было определено, необходимо, чтобы x ≥ 0.
   • Теперь рассмотрим √(1-4x). Для этого выражения должно выполняться условие 1 - 4x ≥ 0, что означает, что x ≤ 1/4.

   Таким образом, область определения нашего уравнения: 0 ≤ x ≤ 1/4.

2. Изолируем один из корней:

   Перепишем уравнение так, чтобы один из корней был изолирован:

   √(1-4x) = 1 - 2√x.

3. Возведем обе стороны в квадрат:

   Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   1 - 4x = (1 - 2√x)².

   Раскроем квадрат правой части:

   (1 - 2√x)² = 1 - 4√x + 4x.

   Таким образом, получаем:

   1 - 4x = 1 - 4√x + 4x.

4. Упростим уравнение:

   Теперь упростим уравнение:

   -4x = -4√x + 4x.

   Переносим все члены на одну сторону:

   0 = 4√x - 8x.

   Делим обе стороны на 4:

   0 = √x - 2x.

5. Решаем полученное уравнение:

   Теперь выразим √x:

   √x = 2x.

   Возведем обе стороны в квадрат:

   x = 4x².

   Переносим все в одну сторону:

   4x² - x = 0.

   Факторизуем:

   x(4x - 1) = 0.

   Таким образом, получаем два решения:

   • x = 0,
   • 4x - 1 = 0, что дает x = 1/4.
6. Проверяем решения:

   Теперь проверим, подходят ли найденные решения под условия области определения:

   • Для x = 0: 2√0 + √(1 - 4*0) = 0 + 1 = 1. Решение верно.
   • Для x = 1/4: 2√(1/4) + √(1 - 4*(1/4)) = 2*(1/2) + √(1 - 1) = 1 + 0 = 1. Решение также верно.

Ответ: Решения уравнения 2 √x + √(1-4x) = 1 в действительных числах: x = 0 и x = 1/4.