Для решения уравнения 2/(x - 5) + (7x)/(x + 3) + 14/(x^2 - 2x - 15) = 0 начнем с упрощения выражения.

Первым делом заметим, что x^2 - 2x - 15 можно разложить на множители:

• x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)

Теперь мы можем переписать уравнение, заменив 14/(x^2 - 2x - 15) на 14/((x - 5)(x + 3)).

Теперь уравнение выглядит так:

Чтобы решить это уравнение, найдем общий знаменатель. Общим знаменателем будет (x - 5)(x + 3).

Теперь умножим каждую часть уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

• 2(x + 3) + 7x(x - 5) + 14 = 0

Теперь раскроем скобки:

• 2x + 6 + 7x^2 - 35x + 14 = 0

Соберем все подобные члены:

• 7x^2 - 33x + 20 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-33)^2 - 4 * 7 * 20
• D = 1089 - 560 = 529

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

• x1 = (33 + sqrt(529)) / (2 * 7)
• x2 = (33 - sqrt(529)) / (2 * 7)

Теперь подставим значение дискриминанта:

• sqrt(529) = 23
• x1 = (33 + 23) / 14 = 56 / 14 = 4
• x2 = (33 - 23) / 14 = 10 / 14 = 5/7

Таким образом, у нас есть два корня уравнения:

• x1 = 4
• x2 = 5/7

Однако необходимо проверить, не равны ли найденные корни значениям, которые делают знаменатель равным нулю:

• x - 5 = 0 → x = 5
• x + 3 = 0 → x = -3

Так как x = 5 является запрещенным значением (знаменатель не может равняться нулю), мы отбрасываем этот корень.

Таким образом, единственный корень уравнения: