Как решить уравнение: (3х-7)/(х+2) - (х+2)/(3х-7) = 15/4?

Алгебра 9 класс Рациональные уравнения решение уравнения алгебра 9 класс уравнение с дробями математические задачи дробные уравнения алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение (3х-7)/(х+2) - (х+2)/(3х-7) = 15/4, давайте следовать пошагово:

1. Обозначим дроби: Пусть A = (3х-7)/(х+2) и B = (х+2)/(3х-7). Тогда уравнение можно записать как A - B = 15/4.
2. Найдем общий знаменатель: Общий знаменатель для A и B будет (х+2)(3х-7). Перепишем уравнение с общим знаменателем:
3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель:
   • (3х-7)(3х-7) - (х+2)(х+2) = (15/4)(х+2)(3х-7).
4. Раскроем скобки:
   • (3х-7)(3х-7) = 9х^2 - 42х + 49.
   • (х+2)(х+2) = х^2 + 4х + 4.
   • Теперь у нас есть: 9х^2 - 42х + 49 - (х^2 + 4х + 4) = (15/4)(х+2)(3х-7).
5. Упрощаем левую часть:
   • 9х^2 - 42х + 49 - х^2 - 4х - 4 = 8х^2 - 46х + 45.
6. Теперь у нас есть уравнение:
   • 8х^2 - 46х + 45 = (15/4)(х+2)(3х-7).
7. Упростим правую часть:
   • (х+2)(3х-7) = 3х^2 - 7х + 6х - 14 = 3х^2 - х - 14.
   • Теперь у нас: 8х^2 - 46х + 45 = (15/4)(3х^2 - х - 14).
8. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
   • 32х^2 - 184х + 180 = 15(3х^2 - х - 14).
9. Раскроем скобки на правой стороне:
   • 32х^2 - 184х + 180 = 45х^2 - 15х - 210.
10. Переносим все в одну сторону:
    • 32х^2 - 184х + 180 - 45х^2 + 15х + 210 = 0.
    • -13х^2 - 169х + 390 = 0.
11. Умножим уравнение на -1:
    • 13х^2 + 169х - 390 = 0.
12. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
    • D = b^2 - 4ac = 169^2 - 4 * 13 * (-390).
    • D = 28561 + 20280 = 48841.
13. Находим корни уравнения:
    • х1 = (-b + √D) / (2a) и х2 = (-b - √D) / (2a).
14. Подставляем значения:
    • х1 = (-169 + 221) / 26 = 52 / 26 = 2.
    • х2 = (-169 - 221) / 26 = -390 / 26 = -15.
15. Ответ: Уравнение имеет два корня: х1 = 2 и х2 = -15.