Как решить уравнение: 4sin³x + 4sin²x - 3sinx - 3 = 0?

Алгебра 9 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические функции синус уравнение 4sin³x математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 4sin³x + 4sin²x - 3sinx - 3 = 0, сначала давайте сделаем замену переменной. Обозначим sinx как t. Тогда уравнение примет вид:

4t³ + 4t² - 3t - 3 = 0

Теперь мы имеем кубическое уравнение относительно t. Чтобы решить его, мы можем попробовать найти корни с помощью метода подбора или использовать теорему Виета. Начнем с подбора целых корней.

1. Проверим, t = 1:
• 4(1)³ + 4(1)² - 3(1) - 3 = 4 + 4 - 3 - 3 = 2 (не корень)
2. Проверим, t = -1:
• 4(-1)³ + 4(-1)² - 3(-1) - 3 = -4 + 4 + 3 - 3 = 0 (корень)

Мы нашли корень t = -1. Теперь мы можем разделить наше кубическое уравнение на (t + 1) с помощью деления многочленов или синтетического деления.

После деления получаем:

4t² - 3

Теперь мы имеем квадратное уравнение:

4t² - 3 = 0

Решим его:

1. Переносим 3 на другую сторону:
• 4t² = 3
2. Делим обе стороны на 4:
• t² = 3/4
3. Теперь извлекаем корень:
• t = ±√(3/4) = ±√3/2

Теперь у нас есть три корня для t:

• t = -1
• t = √3/2
• t = -√3/2

Теперь вернемся к переменной x, используя обратную замену sinx = t:

1. Для sinx = -1:
• x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число.
2. Для sinx = √3/2:
• x = π/3 + 2kπ или x = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число.
3. Для sinx = -√3/2:
• x = 7π/6 + 2kπ или x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, все решения уравнения 4sin³x + 4sin²x - 3sinx - 3 = 0 можно записать в виде:

• x = 3π/2 + 2kπ
• x = π/3 + 2kπ
• x = 2π/3 + 2kπ
• x = 7π/6 + 2kπ
• x = 11π/6 + 2kπ

Где k - любое целое число. Это и есть все решения нашего уравнения.