Чтобы решить уравнение (х-6)^2 + 2 |х-6| - 24 = 0, давайте начнем с упрощения уравнения и рассмотрим модуль |х-6|.

Обозначим y = х - 6. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

y^2 + 2|y| - 24 = 0.

Теперь нам нужно рассмотреть два случая для модуля |y|:

• Случай 1: y ≥ 0 (то есть х ≥ 6). В этом случае |y| = y.
• Случай 2: y < 0 (то есть х < 6). В этом случае |y| = -y.

Теперь давайте решим уравнение для каждого случая.

1. Случай 1: y ≥ 0

Подставляем |y| = y:

y^2 + 2y - 24 = 0.

Это квадратное уравнение. Чтобы решить его, воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100.

Теперь находим корни уравнения:

y1 = (-b + √D) / (2a) = (-2 + 10) / 2 = 4,

y2 = (-b - √D) / (2a) = (-2 - 10) / 2 = -6.

Так как мы рассматриваем случай y ≥ 0, то принимаем только y1 = 4.

Теперь возвращаемся к переменной x: y = x - 6, значит:

x - 6 = 4 → x = 10.

2. Случай 2: y < 0

Подставляем |y| = -y:

y^2 - 2y - 24 = 0.

Находим дискриминант:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100.

Находим корни:

y1 = (2 + 10) / 2 = 6,

y2 = (2 - 10) / 2 = -4.

В этом случае мы принимаем только y2 = -4, так как y < 0.

Возвращаемся к x: y = x - 6, значит:

x - 6 = -4 → x = 2.

Теперь у нас есть два решения:

• x = 10
• x = 2

Таким образом, окончательный ответ:

x = 2 и x = 10.