Квадратные уравнения. 9 класс

ВведениеКвадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени, которое имеет следующий вид:

ax² + bx + c = 0,где x — переменная, a, b и c — коэффициенты уравнения.

Квадратные уравнения играют важную роль в математике и в повседневной жизни, поэтому важно понимать, как их решать. В этом учебном материале мы рассмотрим основные понятия и методы решения квадратных уравнений.

1. Определение квадратного уравненияКак мы уже знаем, квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0. В этом уравнении a, b и c являются коэффициентами, а x — переменной. Коэффициенты a и b могут быть любыми действительными числами, а коэффициент c может быть равен нулю.

Примеры квадратных уравнений:

1. x² - 5x + 6 = 0;
2. 3x² - x + 2 = 0;
3. 2x² + 4x + 1 = 0.

В каждом из этих примеров a, b и c имеют свои значения.

2. Решение квадратных уравненийСуществует несколько методов решения квадратных уравнений, но наиболее распространенными являются следующие два метода:

• Метод разложения левой части уравнения на множители. Этот метод основан на том, что квадратное уравнение можно представить в виде произведения двух множителей. Для этого нужно разложить левую часть уравнения на множители. Если это удастся сделать, то уравнение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Решив эти уравнения, мы найдем корни исходного квадратного уравнения.Пример: x² - 8x + 7 = 0Решение: x² - 7x + x - 7 = 0x(x - 7) + (x - 7) = 0(x + 1)(x - 7) = 0Тогда x = -1 или x = 7.

• Выделение полного квадрата. Этот метод заключается в том, чтобы выделить полный квадрат в левой части уравнения. Для этого необходимо разложить квадратное выражение на два множителя, один из которых равен квадрату числа. Затем можно перенести все остальные слагаемые в правую часть уравнения и приравнять выражение в скобках к нулю. Решая полученное уравнение, мы найдем корни квадратного уравнения. Этот метод применяется только в случае, если коэффициент перед x² равен 1.Пример: 2x² - 6x + 4 = 0Решение: 4x² - 12x + 9 = 0 (добавили к обеим частям уравнения 4²)(2x - 3)² = 02x - 3 = 0 или 2x - 3 = -0x = 3/2 или x = -3/2

3. Теорема ВиетаТеорема Виета — это теорема, которая связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Она гласит: сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример: Пусть дано квадратное уравнение x² + px + q = 0. Тогда его корни x₁ и x₂ связаны с коэффициентами p и q следующим образом:x₁ + x₂ = -px₁ * x₂ = q

Эта теорема позволяет быстро находить корни квадратного уравнения, если они являются целыми числами.

Например, для уравнения x² - 4x + 3 = 0 теорема Виета дает следующие корни:x₁ = 1x₂ = 3

4. ДискриминантДискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое позволяет определить количество корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается буквой D и вычисляется по формуле:D = b² - 4ac

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня.Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень.Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Пример: Рассмотрим квадратное уравнение 3x² - 2x + 5 = 0. Его коэффициенты a = 3, b = -2 и c = 5. Найдем дискриминант:D = (-2)² - 4 3 5 = 4 - 60 = -56Так как D < 0, то это уравнение не имеет корней.

ЗаключениеИтак, квадратные уравнения — это уравнения второй степени, которые имеют вид ax² + bx + c = 0. Они играют важную роль в алгебре и в повседневной жизни. Квадратные уравнения можно решать различными методами, такими как метод разложения левой части на множители, выделение полного квадрата или использование теоремы Виета. Также можно использовать дискриминант, чтобы определить количество корней квадратного уравнения.