Теорема Виета

Введение

Теорема Виета — это один из самых важных результатов в алгебре, который связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами. Она была названа в честь французского математика Франсуа Виета, который впервые сформулировал и доказал эту теорему в XVI веке.

Цель:

Целью изучения теоремы Виета является развитие навыков решения квадратных уравнений, а также понимание взаимосвязи между корнями уравнения и его коэффициентами. Это позволяет упростить решение некоторых задач и способствует более глубокому пониманию материала.

Определение теоремы Виета:

Пусть дано квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — коэффициенты уравнения. Тогда теорема Виета утверждает, что сумма корней уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

x1 + x2 = –b

а произведение корней равно свободному члену:

x1 * x2 = c

Доказательство теоремы:

Докажем теорему Виета для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0. Пусть x1 и x2 — корни этого уравнения. Тогда по теореме Безу (теорема о делении многочлена на линейный двучлен) можно записать:

ax² + bx + c = (x – x1)(x – x2)

Раскрыв скобки, получим:

a(x² – x1x – x2x) + b(x – x1) + c = 0

Приравняв коэффициенты при x, получим:

–x1 – x2 = b

x1x2 = c

или

x1 + x2 = –b

x1 * x2 = c

Таким образом, теорема доказана.

Примеры использования теоремы Виета

Рассмотрим несколько примеров использования теоремы Виета.

Пример 1:

Дано уравнение x² – 5x + 6 = 0. Найдём корни уравнения, используя теорему Виета. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, то есть –5. Произведение корней равно свободному члену, то есть 6. Таким образом, корни уравнения равны 2 и 3.

Пример 2:

Дано уравнение 2x² + 5x – 3 = 0. Найдём сумму и произведение корней. Сумма корней равна –5, произведение равно –3. Корни уравнения можно найти по теореме Виета или другим способом.

Пример 3:

Можно ли найти корни уравнения x² + 7x + 12 = 0 по теореме Виета? Нет, так как сумма корней не равна второму коэффициенту с противоположным знаком.

Решение задач с помощью теоремы Виета

С помощью теоремы Виета можно решать различные задачи, связанные с квадратными уравнениями. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1:

Найти корни уравнения x² – 8x + 15 = 0 и проверить их с помощью теоремы Виета. Корни уравнения равны 3 и 5. Сумма корней равна 8, произведение равно 15.

Задача 2:

Даны два числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 4. Найти эти числа. Эти числа являются корнями уравнения x² – 5x + 4 = 0. Корни уравнения равны 4 и 1.

Теорема Виета имеет широкое применение в алгебре и может быть использована для решения различных задач. Она позволяет упростить процесс нахождения корней квадратного уравнения и понять взаимосвязь между коэффициентами и корнями.

Вопросы для повторения:

1. Сформулируйте теорему Виета.
2. Как связаны корни квадратного уравнения с коэффициентами по теореме Виета?
3. Приведите примеры использования теоремы Виета при решении задач.

Дополнительные материалы:

• Теорема Виета может быть обобщена на уравнения более высоких степеней.
• Существует обратная теорема Виета, которая позволяет определить коэффициенты квадратного уравнения по его корням.
• Теорему Виета можно использовать для разложения квадратного трёхчлена на множители.

В заключение можно сказать, что теорема Виета является важным результатом в алгебре, который позволяет упростить решение квадратных уравнений и понять взаимосвязь между их коэффициентами и корнями. Она имеет широкое применение и может быть полезна при решении различных задач.