Похожие вопросы
2025-01-18 00:31:46
Какова формулировка и доказательство теоремы Виета? Какие сумма и произведение корней квадратного уравнения ax(2)+bx+c=0? Также, какова формулировка и доказательство теоремы, обратной теореме Виета?
ОТВЕТЬТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, ЭТО ОЧЕНЬ ВАЖНО!!!!!!!!
Алгебра 9 класс Теорема Виета теорема Виета формулировка теоремы Виета доказательство теоремы Виета сумма корней квадратного уравнения произведение корней квадратного уравнения обратная теорема Виета алгебра 9 класс квадратное уравнение свойства корней уравнения
2025-01-18 00:31:58
Формулировка теоремы Виета
Теорема Виета утверждает, что для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 (где a ≠ 0) сумма корней этого уравнения равна -b/a, а произведение корней равно c/a.
Сумма и произведение корней
- Сумма корней: Если α и β - корни уравнения, то α + β = -b/a.
- Произведение корней: α * β = c/a.
Доказательство теоремы Виета
Доказательство можно провести, используя формулу корней квадратного уравнения. Решая уравнение ax² + bx + c = 0 с помощью дискриминанта, мы находим:
- Дискриминант D = b² - 4ac.
- Корни уравнения: α = (-b + √D) / (2a) и β = (-b - √D) / (2a).
Теперь найдем сумму корней:
- α + β = [(-b + √D) + (-b - √D)] / (2a) = -2b / (2a) = -b/a.
Теперь найдем произведение корней:
- α * β = [(-b + √D) / (2a)] * [(-b - √D) / (2a)] = (b² - D) / (4a²) = (b² - (b² - 4ac)) / (4a²) = 4ac / (4a²) = c/a.
Формулировка и доказательство обратной теоремы Виета
Обратная теорема Виета утверждает, что если даны два числа p и q, такие что p + q = -b/a и p * q = c/a, то существует квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, корнями которого являются p и q.
Доказательство обратной теоремы Виета
Для доказательства рассмотрим квадратное уравнение, имеющее корни p и q:
- Уравнение можно записать в виде: a(x - p)(x - q) = 0.
- Раскроем скобки: a(x² - (p + q)x + pq) = 0.
- Подставим p + q и pq: a(x² - (-b/a)x + c/a) = 0.
- Упрощая, получаем: ax² + bx + c = 0.
Таким образом, мы показали, что если корни p и q удовлетворяют условиям, то они являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
