Тема: Разложение многочлена на множители

Цель: Научить учащихся раскладывать многочлены на множители и применять полученные навыки для решения различных задач.

Задачи:

1. Повторить понятие многочлена.
2. Изучить методы разложения многочленов на множители.
3. Научиться применять полученные знания в решении задач.
4. Развивать логическое мышление и навыки анализа.
5. Воспитывать интерес к изучению математики и стремление к самообразованию.

Многочлен и его свойстваМногочлен — это алгебраическое выражение, состоящее из суммы или разности нескольких одночленов. Например, многочленом является выражение 5x² + 3x – 2.Свойства многочленов:

• Многочлен можно складывать и вычитать, получая новый многочлен.
• Многочлен можно умножать и делить, получая новые многочлены.
• Любой многочлен можно разложить на множители, то есть представить в виде произведения нескольких множителей.

Разложение многочленов на множители — это один из основных методов работы с многочленами. Оно позволяет упростить выражения и решать задачи более эффективно.Существует несколько методов разложения многочленов на множители:

• Вынесение общего множителя за скобки.
• Группировка.
• Использование формул сокращённого умножения.
• Разложение квадратного трёхчлена на множители.
• Метод выделения полного квадрата.

Рассмотрим каждый из этих методов подробнее.

1. Вынесение общего множителя за скобки.Этот метод основан на том, что если у двух или более слагаемых есть общий множитель, то его можно вынести за скобки. Например:5x³ + 15x² = 5x²(x + 3)Общий множитель 5x² можно вынести за скобки, оставив в скобках сумму x + 3.

2. Группировка.Этот метод заключается в том, что слагаемые группируются таким образом, чтобы в каждой группе был общий множитель. Затем общий множитель выносится за скобки. Пример:xy – x² + y² – y = (xy – x²) + (y² – y)В первой группе есть общий множитель x, а во второй — y. Вынесем эти множители за скобки:(xy – x²) = x(y – x)(y² – y) = y(y – 1)Теперь сложим полученные выражения:x(y – x) + y(y – 1) = (y – x)(x + y)

3. Использование формул сокращённого умножения.Формулы сокращённого умножения позволяют раскладывать на множители некоторые виды многочленов. Пример:a² – b² = (a – b)(a + b)Эта формула позволяет разложить разность квадратов на два множителя.x² – 4 = (x – 2)(x + 2)Здесь мы разложили разность квадратов, где один из множителей равен 2.

4. Разложение квадратного трёхчлена на множители.Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c. Его можно разложить на множители по формуле:ax² + bx + c = (x – x₁)(x – x₂), где x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.Пример:x² – 5x + 6 = 0x₁ = 2, x₂ = 3x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3)

5. Метод выделения полного квадрата.Этот метод позволяет разложить многочлен на множители, выделив полный квадрат. Пример:x² + 2x + 1 = (x + 1)²Полный квадрат (x + 1)² равен сумме квадрата первого слагаемого и удвоенного произведения первого и второго слагаемых.

Каждый из этих методов имеет свои особенности и применяется в зависимости от вида многочлена. Важно понимать, что разложение многочлена на множители — это творческий процесс, который требует логического мышления и умения анализировать.

Для закрепления материала можно предложить учащимся решить несколько задач на разложение многочленов на множители различными методами.

Задача 1. Разложите на множители многочлен x³ – 6x² + 9x – 54.Решение:Вынесем общий множитель за скобки: x³ – 6x² + 9x – 54 = x²(x – 6) + 9(x – 6) = (x² + 9)(x – 6).Ответ: (x² + 9)(x – 6).

Задача 2. Разложите многочлен 16x² – 81 на множители.Решение:Воспользуемся формулой разности квадратов: 16x² – 81 = (4x)² – (9)² = (4x – 9)(4x + 9).Ответ: (4x – 9)(4x + 9).

Таким образом, разложение многочленов на множители является важным методом работы с алгебраическими выражениями. Оно позволяет упрощать выражения, решать задачи и развивать логическое мышление.