Как решить уравнение sin^2(x/2) - 5sin(x/2) + 4 = 0 на отрезке [pi/2; pi]? Ответ дайте в градусах.

Алгебра 9 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения алгебра 9 класс тригонометрические уравнения sin^2(x/2) отрезок [pi/2; pi] угол в градусах Новый

Для решения уравнения sin^2(x/2) - 5sin(x/2) + 4 = 0 на отрезке [pi/2; pi], начнем с замены переменной. Пусть:

y = sin(x/2)

Тогда уравнение можно переписать как:

y^2 - 5y + 4 = 0

Теперь это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Для уравнения y^2 - 5y + 4 = 0, дискриминант D рассчитывается по формуле:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -5, c = 4. Подставим значения:

D = (-5)^2 - 4 1 4 = 25 - 16 = 9

Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения по формуле:

y = ( -b ± √D ) / (2a)

Подставим значения:

y1 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4
y2 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, у нас есть два корня:

y1 = 4
y2 = 1

Теперь вернемся к нашей замене y = sin(x/2). Поскольку значение синуса не может превышать 1, корень y1 = 4 не подходит. Оставляем только:

y2 = 1

Теперь решим уравнение:

sin(x/2) = 1

Это уравнение выполняется, когда:

x/2 = 90° + 360°k или x/2 = 270° + 360°k, где k - любое целое число.

Решим для x:

x = 180° + 720°k или x = 540° + 720°k

Теперь подставим k = 0, чтобы найти решения на отрезке [pi/2; pi]:

• Для первого уравнения: x = 180°
• Для второго уравнения: x = 540° (это значение выходит за пределы отрезка [pi/2; pi])

Таким образом, единственное решение уравнения на заданном отрезке:

x = 180°

Ответ: x = 180°.