Чтобы решить уравнение (у²-2у)² - 7(у²-2у) - 8 = 0, давайте сначала упростим его. Мы видим, что в уравнении есть выражение (у²-2у), которое можно обозначить как новую переменную. Обозначим:

Теперь подставим z в уравнение:

(z)² - 7z - 8 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно z. Чтобы решить его, воспользуемся формулой решения квадратного уравнения:

В нашем случае:

• a = 1
• b = -7
• c = -8

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

Сначала найдем дискриминант D:

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 * 1 * (-8) = 49 + 32 = 81

Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни z:

z = (7 ± √81) / 2 = (7 ± 9) / 2

Теперь вычислим два возможных значения z:

• z₁ = (7 + 9) / 2 = 16 / 2 = 8
• z₂ = (7 - 9) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть два значения для z: z₁ = 8 и z₂ = -1. Теперь вернемся к нашему обозначению z = у² - 2у и подставим найденные значения:

у² - 2у = 8

у² - 2у - 8 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

• a = 1
• b = -2
• c = -8

Находим дискриминант D:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

Теперь находим корни:

у = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2

• у₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4
• у₂ = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

у² - 2у = -1

у² - 2у + 1 = 0

(у - 1)² = 0

Это уравнение имеет один корень:

• у = 1

Теперь у нас есть три корня уравнения:

• у₁ = 4
• у₂ = -2
• у₃ = 1

Таким образом, окончательный ответ: у = 4, у = -2, у = 1.