Чтобы решить уравнение (x^2 + 3x)^2 - 14x^2 - 42x + 40 = 0, начнем с упрощения и преобразования выражения.

1. Обозначим подвыражение: Пусть y = x^2 + 3x. Тогда уравнение можно переписать как:
• y^2 - 14x^2 - 42x + 40 = 0.
2. Подставим y: Теперь подставим значение y обратно в уравнение:
• y^2 = (x^2 + 3x)^2 = x^4 + 6x^3 + 9x^2.
3. Подставляем y^2 в уравнение: Получаем новое уравнение:
• x^4 + 6x^3 + 9x^2 - 14x^2 - 42x + 40 = 0.
• Упростим его:
• x^4 + 6x^3 - 5x^2 - 42x + 40 = 0.
4. Решение уравнения: Теперь мы имеем полином 4-й степени. Для поиска корней можно использовать метод проб, деление многочлена или численные методы.
5. Пробуем найти рациональные корни: Проверим, например, x = 2:
• 2^4 + 6(2^3) - 5(2^2) - 42(2) + 40 = 16 + 48 - 20 - 84 + 40 = 0.
• Таким образом, x = 2 является корнем уравнения.
6. Делим многочлен на (x - 2): Теперь мы можем использовать деление многочлена, чтобы упростить уравнение:
• Используем деление многочлена, чтобы найти оставшийся многочлен.
7. Находим остальные корни: После деления мы получаем многочлен 3-й степени, который можно решить различными методами (например, методом подбора или снова пробуя рациональные корни).

После нахождения всех корней, мы можем записать полный ответ уравнения. Не забудьте проверить, что все найденные корни удовлетворяют исходному уравнению.