Чтобы решить уравнение x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0, мы можем использовать метод подбора корней и затем деление многочлена. Давайте рассмотрим шаги более подробно.

1. Поиск рациональных корней: Мы можем начать с подбора возможных рациональных корней уравнения. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях, которая говорит, что возможные корни - это делители свободного члена (в нашем случае -20) деленные на делители старшего коэффициента (в нашем случае 1).
• Делители -20: ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20.
• Делители 1: ±1.
2. Подбор корней: Проверим, какие из этих чисел являются корнями уравнения. Начнем с 2:
• Подставляем x = 2: 2^3 + 5*2^2 - 4*2 - 20 = 8 + 20 - 8 - 20 = 0. Значит, x = 2 - это корень уравнения.
3. Деление многочлена: Теперь, когда мы нашли корень, мы можем выполнить деление многочлена x^3 + 5x^2 - 4x - 20 на (x - 2) с помощью деления столбиком или синтетического деления.
• При делении мы получаем: x^2 + 7x + 10.
4. Решение квадратного уравнения: Теперь нам нужно решить квадратное уравнение x^2 + 7x + 10 = 0. Мы можем использовать формулу дискриминанта:
• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*1*10 = 49 - 40 = 9.
• Корни квадратного уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √D) / 2a.
• Подставляем значения: x = (-7 ± √9) / 2 = (-7 ± 3) / 2.
• Получаем два корня: x1 = (-7 + 3) / 2 = -2 и x2 = (-7 - 3) / 2 = -5.
5. Итог: Таким образом, у нас есть три корня уравнения:
• x1 = 2,
• x2 = -2,
• x3 = -5.

Ответ: корни уравнения x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0 - это x = 2, x = -2, x = -5.