Как решить уравнения √cos2x=sinx и 2|cosx|-cosx-3=0, учитывая, что во втором уравнении есть модуль?

Алгебра 9 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнений алгебра 9 класс √cos2x=sinx 2|cosx|-cosx-3=0 уравнения с модулем тригонометрические уравнения Новый

Давайте решим каждое из уравнений по очереди.

1. Уравнение: √cos(2x) = sin(x)

Первым делом, отметим, что √cos(2x) требует, чтобы cos(2x) было неотрицательным. Это значит, что:

• cos(2x) ≥ 0

Затем, мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

• cos(2x) = sin²(x)

Теперь воспользуемся формулой для cos(2x):

• cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = cos²(x) - (1 - cos²(x)) = 2cos²(x) - 1

Итак, мы можем подставить это в уравнение:

• 2cos²(x) - 1 = sin²(x)

Подставим sin²(x) в терминах cos(x):

• sin²(x) = 1 - cos²(x)

Теперь у нас есть:

• 2cos²(x) - 1 = 1 - cos²(x)

Соберем все члены с cos(x) в одну сторону:

• 2cos²(x) + cos²(x) - 1 - 1 = 0

Это упрощается до:

• 3cos²(x) - 2 = 0

Теперь решим это уравнение:

• 3cos²(x) = 2
• cos²(x) = 2/3
• cos(x) = ±√(2/3)

Теперь, чтобы найти x, мы используем арккосинус:

• x = arccos(√(2/3)) + 2kπ
• x = -arccos(√(2/3)) + 2kπ
• x = arccos(-√(2/3)) + 2kπ
• x = -arccos(-√(2/3)) + 2kπ

где k - любое целое число.

2. Уравнение: 2|cos(x)| - cos(x) - 3 = 0

Здесь у нас есть модуль, поэтому нужно рассмотреть два случая: когда cos(x) ≥ 0 и когда cos(x) < 0.

Случай 1: cos(x) ≥ 0

• Тогда |cos(x)| = cos(x), и уравнение становится:
• 2cos(x) - cos(x) - 3 = 0
• cos(x) - 3 = 0
• cos(x) = 3

Это невозможно, так как косинус не может превышать 1. Таким образом, в этом случае решений нет.

Случай 2: cos(x) < 0

• Тогда |cos(x)| = -cos(x), и уравнение становится:
• 2(-cos(x)) - cos(x) - 3 = 0
• -2cos(x) - cos(x) - 3 = 0
• -3cos(x) - 3 = 0
• -3cos(x) = 3
• cos(x) = -1

Теперь найдем x:

• x = π + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы получили решения для обоих уравнений:

• Для первого уравнения: x = arccos(√(2/3)) + 2kπ, -arccos(√(2/3)) + 2kπ, arccos(-√(2/3)) + 2kπ, -arccos(-√(2/3)) + 2kπ.
• Для второго уравнения: x = π + 2kπ.